Tìm một trường hợp xấu nhất của loại heap

Tôi đang giải quyết vấn đề H trong cuộc thi ACM ICPC 2004 21002005 Đông Bắc Châu Âu .

Vấn đề cơ bản là tìm ra trường hợp xấu nhất tạo ra số lượng trao đổi tối đa trong thuật toán (rút xuống) để xây dựng heap.

• Input: đầu vào fi le chứa ( ).$n$$1 \le n \le 50{,}000$
• Đầu ra: Xuất ra mảng chứa số nguyên khác nhau từ đến , sao cho nó là một đống và khi chuyển đổi nó thành một mảng được sắp xếp, tổng số trao đổi trong các hoạt động chọn lọc là tối đa có thể.$n$$1$$n$

Đầu vào mẫu: 6
Đầu ra tương ứng:6 5 3 2 4 1

Và các kết quả cơ bản:

[2, 1]   
[3, 2, 1]   
[4, 3, 1, 2] 
[5, 4, 3, 2, 1] 
[6, 5, 3, 4, 1, 2]

Với trường hợp xấu nhất cho , chúng ta có thể xây dựng các trường hợp xấu nhất cho n + 1 như sau: chúng ta làm một 'chu kỳ trao đổi như sau: chúng ta hãy n + 1 , đặt nó trong một [ 0 ] , và chúng tôi trao đổi một [ 0 ] với các phần tử tối đa của con của nó, đó là một [ 1 ] hoặc một [ 2 ] , mà chúng tôi lại trao đổi với các phần tử tối đa của con của nó và như vậy, cho đến khi chúng tôi rời khỏi n đống -element, tại thời điểm đó chúng tôi đặt phần tử cuối cùng đó ở n + $n$$n+1$$n+1$$a[0]$$a[0]$$a[1]$$a[2]$$n$$n+1$-thị trí.

Một ví dụ: trường hợp xấu nhất cho là [ 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ] . Chúng tôi trao đổi trong 6 tạo ra heap [ 6 , 5 , 3 , 4 , 1 ] , sau đó chúng tôi kết thúc bằng 2, chúng tôi chèn vào cuối: [ 6 , 5 , 3 , 4 , 1 , 2 ] .$n=5$$[5, 4, 3, 2, 1]$$[\textbf{6}, \textbf{5}, 3, \textbf{4}, 1]$$[\textbf{6}, \textbf{5}, 3, \textbf{4}, 1, \textbf{2}]$

Phương pháp công trình trên bằng cảm ứng: chúng tôi bắt đầu từ kết quả tồi tệ nhất đối với yếu tố và thực hiện một Sift xuống hoạt động theo hướng ngược lại, tối đa hóa số lượng giao dịch hoán đổi nó đã làm ( ⌊ log ( n ) ⌋ giao dịch hoán đổi). Bạn không thể thực hiện nhiều giao dịch hoán đổi hơn số này, vì vậy bạn tối đa hóa số lần hoán đổi sau thao tác trích xuất đầu tiên, sau đó bạn còn lại chính xác là trường hợp xấu nhất cho n - 1 phần tử cho thao tác trích xuất tiếp theo. Điều này ngụ ý rằng số lượng giao dịch hoán đổi thực sự là tối đa.$n-1$$\lfloor\log(n)\rfloor$$n-1$

Lưu ý rằng phương pháp này cho kết quả khác với mức bạn đã nhận được:

[1]
[2, 1]
[3, 2, 1]
[4, 3, 1, 2]
[5, 4, 1, 3, 2]
[6, 5, 1, 4, 2, 3]
[7, 6, 1, 5, 2, 4, 3]
[8, 7, 1, 6, 2, 4, 3, 5]
[9, 8, 1, 7, 2, 4, 3, 6, 5]
[10, 9, 1, 8, 2, 4, 3, 7, 5 ,6]

Tuy nhiên, cả hai giải pháp đều đúng:

[5, 4, 1, 3, 2]
[2, 4, 1, 3| 5]
[4, 2, 1, 3| 5]
[4, 3, 1, 2| 5]
[2, 3, 1| 4, 5]
[3, 2, 1| 4, 5]

[5, 4, 3, 2, 1]
[1, 4, 3, 2| 5]
[4, 1, 3, 2| 5]
[4, 2, 3, 1| 5]
[1, 2, 3| 4, 5]
[3, 2, 1| 4, 5]

[6, 5, 1, 4, 2, 3]
[3, 5, 1, 4, 2| 6]
[5, 3, 1, 4, 2| 6]
[5, 4, 1, 3, 2| 6]
[2, 4, 1, 3| 5, 6]
[4, 2, 1, 3| 5, 6]
[4, 3, 1, 2| 5, 6]
[2, 3, 1| 4, 5, 6]
[3, 2, 1| 4, 5, 6]

[6, 5, 3, 4, 1, 2]
[2, 5, 3, 4, 1| 6]
[5, 2, 3, 4, 1| 6]
[5, 4, 3, 2, 1| 6]
[1, 4, 3, 2| 5, 6]
[4, 1, 3, 2| 5, 6]
[4, 2, 3, 1| 5, 6]
[1, 2, 3| 4, 5, 6]
[3, 2, 1| 4, 5, 6]