Một điều kiện đủ và cần thiết về tính đều đặn của ngôn ngữ

Khẳng định nào sau đây là đúng?

1. điều kiện đủ và cần thiết về tính đều đặn của một ngôn ngữ tồn tại nhưng chưa được khám phá.

2. Không có điều kiện đủ và cần thiết về tính đều đặn của ngôn ngữ.

3. Bơm bổ đề là một điều kiện cần thiết cho sự không đều đặn của ngôn ngữ.

4. Bơm bổ đề là một điều kiện đủ cho sự không đều đặn của ngôn ngữ.

Tôi biết # (4) là đúng và # (3) là sai vì "điều ngược lại của tuyên bố này là không đúng: một ngôn ngữ thỏa mãn các điều kiện này có thể vẫn không đều", nhưng những gì có thể nói về (1) và (2)?

Dưới đây là một số điều kiện cần và đủ để một ngôn ngữ được thường xuyên.

Định lý. Hãy để . Các điều kiện sau là tương đương:$L\subseteq\Sigma^*$

• $L$ được tạo bởi một biểu thức chính quy (nghĩa là định nghĩa của ngôn ngữ thông thường).
• $L$ được công nhận bởi một máy tự động hữu hạn không phá hủy ( Kleene ).
• $L$ được công nhận bởi một máy tự động hữu hạn không điều kiện mà không cần -transitions.$\varepsilon$
• $L$ được công nhận bởi một máy tự động hữu hạn xác định ( Scott và Rabin ).
• ( N , Σ , P , S ) N Σ $L$ được tạo bởi một ngữ pháp , trong đó là tập con hữu hạn của ( Frazier và Page ).$(N,\Sigma,P,S)$$N$$\Sigma^*$
• $L$ được tạo bởi một ngữ pháp thông thường không ngữ cảnh bên trái (tương ứng).
• Chỉ số của mối quan hệ Nerode là hữu hạn (Anil Nerode, biến đổi tự động tuyến tính , 1958). Điều này được phổ biến rộng rãi (và không chính xác) được gọi là định lý Myhill-Nerode. là mối quan hệ được sử dụng để xây dựng DFA tối thiểu của ngôn ngữ thông thường.≡ $\equiv_L$$\equiv_L$
• Chỉ số của mối quan hệ Myhill là hữu hạn (John Myhill, Finite Automata và Đại diện của các sự kiện , 1957). là mối quan hệ được sử dụng để xây dựng đơn điệu cú pháp của một ngôn ngữ tùy ý.~ $\sim_L$$\sim_L$
• Các cú pháp đơn điệu của là hữu hạn (kết quả của kết quả của Myhill). Ở đây, chúng tôi lưu ý rằng monoid cú pháp, ngoài việc được xác định bằng cách sử dụng quan hệ ∼ L , có thể được định nghĩa là một monoid tối thiểu (về kích thước) nhận ra L là một tiền đề của sự đồng hình.$L$$\sim_L$$L$
• có thể được nhận ra bởi một máy Turing chỉ đọc (tầm thường).$L$
• có thể được định nghĩa bởi một công thức trong logic thứ hai Monadic trên chuỗi (Büchi).$L$

Nếu một ngôn ngữ không thỏa mãn các điều kiện của bổ đề bơm đối với các ngôn ngữ thông thường , thì nó không thông thường. Điều này có nghĩa là bơm bổ đề là một điều kiện đủ cho sự không đều đặn của ngôn ngữ.

Tóm lại, câu 1, 2 và 3 là sai, trong khi câu 4 là đúng, như bạn đã đề cập.

Nó là đủ (và cần thiết) để hiển thị sự tồn tại của DFA, NFA hoặc biểu thức chính quy để chứng minh rằng một ngôn ngữ là chính quy, từ chối (1) và (2). Để chỉ ra rằng một ngôn ngữ không thường xuyên, cần phải chứng minh rằng DFA, NFA hoặc biểu thức chính quy không tồn tại.

Bổ đề bơm là một công cụ hữu ích để chỉ ra (có thể do mâu thuẫn) rằng một ngôn ngữ không thường xuyên, bằng cách cho thấy rằng không có DFA tồn tại.

$L$$L$

Điều kiện này không chính xác làm cho nó dễ dàng chứng minh sự không đều đặn của ngôn ngữ. Tôi không nhận thấy bất kỳ điều kiện nào dễ kiểm tra mà luôn chứng minh sự không đều đặn của ngôn ngữ không chính quy.

Có hai 'bài kiểm tra nữa có thể chứng minh tính không đều đặn của ngôn ngữ (mặc dù chúng có thể không hoạt động): bạn có thể thử đưa ra một số ngôn ngữ thông thường sao cho liên kết / giao nhau / khác biệt / nối / thương của chúng không đều ( có nhiều thao tác như thế này) và bạn có thể thử đếm xem nó tạo ra bao nhiêu từ và kiểm tra xem nó có mâu thuẫn với biểu thức cho số lượng từ trong một ngôn ngữ thông thường không (có thể tìm thấy trên trang Wikipedia mà bạn đã liên kết).

Có mối liên hệ tuyệt vời giữa lý thuyết ngôn ngữ chính thức và chuỗi quyền lực chính thức được chứng minh bởi Chomsky và Schützenberger [CS63] . Trong mẫu tìm thấy trong [SS78] Chap. II, Định lý 5.1

$L$$\mathbb{K}$$\mathrm{char}(L)$$\mathbb{K}$

$\mathrm{char}(L)$

[SS78] Arto Salomaa và Matti Soittola. Các khía cạnh lý thuyết tự động của loạt quyền lực chính thức. Springer-Verlag, New York, 1978.

[CS63] Noam Chomsky và Marcel P. Schützenberger. Lý thuyết đại số của các ngôn ngữ không ngữ cảnh. Trong P. Braffort và D. Hirschberg, biên tập viên, Lập trình máy tính và Ngôn ngữ chính thức, trang 118 Phản161. Bắc Hà Lan, 1963.

$I_{L}$$x$$y$$x I_{L} y$

1. $z_{x}$$xz_{x} \in L$$yz_{x} \in L$
2. $z_{y}$$yz_{y} \in L$$xz_{y} \in L$

$I_{L}$$L$

$I_{L}$