Giảm ánh xạ để bổ sung cho A

7

Tôi có một câu hỏi chung về giảm bản đồ. Tôi đã thấy một số ví dụ về việc giảm các hàm thành $A_{TM}$

trong đó $A_{TM} = \{\langle M, w \rangle : \text{ For } M \text{ is a turing machine which accepts string } w\}$

đó là tuyệt vời để chứng minh tính không ổn định. Nhưng nói rằng tôi muốn chứng minh không thể nhận ra thay vào đó. Đó là, tôi muốn sử dụng hệ quả đã cho , nếu không thể nhận ra thì không thể nhận ra. $A \le_{m} B$ $A$ $B$

Vì vậy, đối với mọi ngôn ngữ không thể nhận dạng tùy ý có thể được giảm xuống (bất kỳ ngôn ngữ ví dụ nào cũng đủ vì ví dụ), làm cách nào tôi có thể giảm ? $C$ $\overline{A_{TM}}$ $\overline{A_{TM}} \le_{m} C$

Để đơn giản, đủ để chỉ xem xét TM trong . $\overline{A_{TM}}$

BIÊN TẬP

Để làm rõ, $\overline{A_{TM}} = \{ \langle M, w \rangle : M \text{ is a turing machine which does not accept string } w \}$

computability proof-techniques reductions

— RageD
nguồn

9

Hãy lấy , nghĩa là tất cả các máy chấp nhận không có từ nào (nghĩa là ngôn ngữ của chúng trống). $L_{\emptyset}=\{ \langle M \rangle \mid L(M) = \emptyset \}$

Bây giờ chúng tôi hiển thị mức giảm . Việc giảm được thực hiện bằng cách lấy đầu vào của và chuyển đổi nó thành đầu vào cho sao cho $\overline{A_{TM}} \le L_\emptyset$ $(\langle M \rangle,w)$ $\overline{A_{TM}}$ ${\langle \tilde M \rangle}$ $L_\emptyset$

(⟨ M ⟩, w) \in \bar{A_{T M}} iff ⟨ \tilde{M} ⟩ \in L_{\emptyset}

$(\langle M \rangle,w) \in \overline{A_{TM}} \quad\text{ iff }\quad \langle \tilde M \rangle \in L_{\emptyset}$

Cho chúng ta có thể xây dựng theo cách sau. trên đầu vào y thực hiện như sau: $(\langle M \rangle,w)$ $\tilde M$ $\tilde M$

xóa băng
viết trên băng $w$
chạy trên và thực hiện tương tự (nếu chấp nhận, chấp nhận). $M$ $w$ $M$ $\tilde M$

Hãy thuyết phục bản thân bạn có thể xây dựng mã hóa từ mã hóa của và từ . Bây giờ hãy xác minh rằng mức giảm này là hợp lệ: $\tilde M$ $M$ $w$

Nếu thì sẽ từ chối hoặc không dừng lại. Nếu vậy, thì cũng không chấp nhận , cho bất kỳ đầu vào . Điều này có nghĩa là do đó . $(\langle M \rangle,w) \in \overline{A_{TM}}$ $M$ $\tilde M$ $y$ $y$ $L(\tilde M) = \emptyset$ $\langle \tilde M \rangle \in L_{\emptyset}$
Nếu thì chấp nhận , do đó chấp nhận (với mọi ). Theo sau ngụ ý rằng . $(\langle M \rangle,w) \notin \overline{A_{TM}}$ $M$ $w$ $\tilde M$ $y$ $y$ $L(\tilde M)=\Sigma^*$ $\langle \tilde M \rangle \notin L_{\emptyset}$

Điều kiện "iff" được giữ và chúng tôi đã ánh xạ thành công một đầu vào của thành một đầu vào của . Trong trường hợp này, chúng tôi nói rằng chúng tôi đã giảm thành . Nghĩa là, nếu chúng ta có thể giải quyết , chúng ta cũng có thể giải quyết bằng cách chuyển đổi đầu vào và sau đó chạy thuật toán giải quyết trên đầu vào được chuyển đổi. $\overline{A_{TM}}$ $L_\emptyset$ $\overline{A_{TM}}$ $L_\emptyset$ $L_\emptyset$ $\overline{A_{TM}}$ $L_\emptyset$

— Ran G.
nguồn

5

Bạn không thể hiển thị, cho một ngôn ngữ không thể nhận ra tùy ý , rằng . Nếu thì cụ thể mức độ Turing của lớn hơn hoặc bằng mức độ Turing của , bởi vì mức độ giảm nhiều có nghĩa là khả năng giảm Turing. Mức độ Turing của là , giống như mức độ Turing của . Có rất nhiều ngôn ngữ không thể nhận ra mà mức độ Turing không thể so sánh được với (không lớn hơn hoặc nhỏ hơn ). $C$ $\overline{A_{TM}} \leq_m C$ $\overline{A_{TM}} \leq_m C$ $C$ $\overline{A_{TM}}$ $\overline{A_{TM}}$ $0'$ $A_{TM}$ $0'$ $0'$

Các ví dụ mà Ran G. cho công trình vì đặc biệt là -equivalent để . Có một hiện tượng chung là hầu hết các vấn đề "tự nhiên" có xu hướng tương đương với nhau trong -degree. Nhưng nếu bạn nhìn vào các vấn đề tùy ý thì điều này không còn đúng nữa. $L_\emptyset$ $m$ $\overline{A_{TM}}$ $m$

— Carl Mummert
nguồn

Tôi xin lỗi, từ ngữ của tôi là kém. Tôi có nghĩa là một vấn đề tùy tiện cụ thể mà là không thể nhận ra. Tôi chỉ đơn thuần là tìm kiếm một ví dụ để hiểu rõ hơn về việc cắt giảm.

— RageD