Phiên bản giới hạn của vấn đề Clique?

Hãy xem xét phiên bản sau của vấn đề Clique trong đó đầu vào có kích thước và chúng tôi được yêu cầu tìm một cụm có kích thước . Hạn chế là quy trình quyết định không thể thay đổi biểu đồ đầu vào thành bất kỳ biểu diễn nào khác và không thể sử dụng bất kỳ biểu diễn nào khác để tính toán câu trả lời của nó, ngoại trừ các bit bổ sung ngoài biểu đồ đầu vào. Ví dụ, các bit bổ sung có thể được sử dụng trong thuật toán brute-force để theo dõi trạng thái tìm kiếm toàn diện cho một cụm, nhưng thủ tục quyết định được hoan nghênh sử dụng chúng theo bất kỳ cách nào khác vẫn quyết định vấn đề. $n$ $k$ $\log(n^k)$

Có bất cứ điều gì được biết vào thời điểm này về sự phức tạp của điều này? Đã có công việc nào được thực hiện đối với các hạn chế khác của Clique chưa, và nếu vậy, bạn có thể hướng tôi đến công việc đó không?

complexity-theory time-complexity

— ShyPerson
nguồn

Bạn có định hằng số trong giống với kích thước clique không?

k

$k$

\lg n^{k}

$\lg n^k$

k

$k$

— Lucas Cook

@LucasCook Có.

— ShyPerson

Điều này nghe có vẻ như bạn đang hỏi liệu vấn đề clique hoàn chỉnh NP có thể được giải quyết trong không gian logarit hay không. Sử dụng máy Turing, một băng chỉ được đọc và lưu trữ biểu đồ đầu vào. Các băng khác được giới hạn để có không gian cho một số hằng số . Lớp các vấn đề có thể giải quyết được trong mô hình này được gọi là , không gian logarit xác định. (Xem wikipedia hoặc trong sở thú phức tạp ) $c \lg n$ $c$ $L$

Không biết liệu , nhưng một câu trả lời tích cực sẽ ngụ ý rằng , vì vậy bạn (gần như chắc chắn?) Sẽ không tìm thấy câu trả lời. và ngụ ý , hàm ý . $\mathrm{CLIQUE} \in L$ $P = NP$ $L \subseteq P \subseteq NP$ $\mathrm{CLIQUE} \in L$ $\mathrm{CLIQUE} \in P$ $P = NP$

Chỉnh sửa trong trường hợp tôi giải thích sai vấn đề:

Nếu bạn có ý định rằng trong giống với kích thước clique (nghĩa là số lượng thang đo bộ nhớ với đầu vào ), thì có một thuật toán đơn giản: bạn có thể lặp qua tất cả tập hợp các nút có thể và kiểm tra xem chúng có tạo thành một -clique không. Điểm bắt đầu để tìm kiếm các giải pháp tốt hơn có thể là các tham chiếu của [1]. $k$ $\lg n^k = k \lg n$ $k$ $k$ $k$ $k$

[1] Virginia Vassilevska, "Các thuật toán hiệu quả cho các vấn đề phân thân" liên kết pdf

— Lucas Cook
nguồn

@ShyPerson Ok. Chuỗi đầu vào thường không thay đổi trong các mô hình giới hạn không gian (như TM không gian tuyến tính trong hoặc ), vì vậy đó có thể là một nơi tốt để xem xét. Tôi không chắc chắn về một cách chính thức để nói rằng "bạn không thể tạo ra một đại diện khác" bên cạnh việc giới hạn không gian. Nếu tôi cho phép không gian tạo một bản sao khác của , thì chính xác điều gì tạo thành một đại diện khác? Điều gì xảy ra nếu tôi "vô tình" xây dựng một đại diện đủ cho một biểu đồ đặc biệt thưa thớt hoặc có thể nén được?

L

$L$

N L

$NL$

G

$G$

— Lucas Cook

k C L I Q U E

$\mathrm{kCLIQUE}$ chưa hoàn thành NP! (trừ khi )

P = N P

$\mathrm{P}= \mathrm{NP}$

— Alex ten Brink

@AlextenBrink Bạn có nghĩa là kCLIQUE là vấn đề chức năng? Tôi đã đổi tên thành CLIITE ở trên (tôi luôn nhầm lẫn chúng!), Nhưng thật lạ khi tôi nói kCLIQUE nằm trong NP nếu bạn muốn nói đến vấn đề chức năng.

— Lucas Cook

Có nghĩa là searchvấn đề, trong trường hợp này.

— Lucas Cook

k C L I Q U E

$\mathrm{kCLIQUE}$ là vấn đề đối với cố định , trong khi có như một phần của đầu vào. Bằng cách kiểm tra tất cả các sơ đồ con có kích thước bạn có thuật toán , đó là đa thức nếu cố định nhưng superpolynomal nếu ví dụ .

C L I Q U E

$\mathrm{CLIQUE}$

k

$k$

C L I Q U E

$\mathrm{CLIQUE}$

k

$k$

k

$k$

O (n^{k})

$O(n^k)$

k

$k$

k = Θ (n)

$k=\Theta(n)$

— Alex ten Brink