Thuật toán nhanh nhất để nhân hai số có n chữ số là gì?

Tôi muốn biết thuật toán nào là nhanh nhất để nhân hai số có n chữ số? Không gian phức tạp có thể được thư giãn ở đây!

Tính đến nay thuật toán Fürer của Martin Fürer có độ phức tạp thời điểm trong đó sử dụng biến đổi Fourier trên số phức. Thuật toán của ông thực sự là dựa trên thuật toán Schönhage và Strassen của trong đó có một độ phức tạp thời gian của Θ ( n log ( n ) log ( log ( n ) ) $n \log(n)2^{Θ(log*(n))}$$Θ(n\log(n)\log(\log(n)))$

Các thuật toán khác mà là nhanh hơn so với trường lớp Nhân thuật toán là Karatsuba nhân trong đó có một độ phức tạp thời gian ≈ O ( n 1,585 ) và Toom 3 thuật toán trong đó có một độ phức tạp thời gian của Θ ( n 1,465$O(n^{\log_{2}3})$$O(n^{1.585})$$Θ(n^{1.465})$

Lưu ý rằng đây là những thuật toán nhanh. Tìm thuật toán nhanh nhất để nhân là một vấn đề mở trong Khoa học Máy tính.

Tài liệu tham khảo:

1. Thuật toán của Fürer
2. Nhân số dựa trên FFT của số lượng lớn
3. Biến đổi Fourier nhanh
4. Nhân toom ăn Cook nhân
5. Thuật toán Schönhage trên mạng Strassen
6. Thuật toán Karatsuba

Lưu ý rằng các thuật toán FFT được liệt kê bởi avi thêm một hằng số lớn, khiến chúng không thực tế đối với các số nhỏ hơn hàng nghìn + bit.

Ngoài danh sách đó, còn có một số thuật toán thú vị khác và các câu hỏi mở:

• Phép nhân thời gian tuyến tính trên mô hình RAM (có tiền mã hóa)
• $\mathcal{O}\left(\frac {n^2} {\log n} \right)$$1$$\mathcal{O}\left({n^2} \right)$$\mathcal{O}\left(\log n\right)$
• Hệ thống số dư và các đại diện khác của số; phép nhân gần như là thời gian tuyến tính. Nhược điểm là, phép nhân là mô-đun và {phát hiện tràn, so sánh, so sánh cường độ} đều khó hoặc gần như khó như chuyển đổi số trở lại biểu diễn nhị phân hoặc tương tự và thực hiện so sánh truyền thống; chuyển đổi này ít nhất là xấu như phép nhân truyền thống (tại thời điểm này, AFAIK).
  • Các đại diện khác:
    • $$16 \times 32 = 2^{\log_2 16 + \log_2 32} = 2^{4+5} = 2^{9}$$
      • Nhược điểm là chuyển đổi sang và từ biểu diễn logarit có thể khó như nhân hoặc khó hơn, biểu diễn cũng có thể là phân số / không hợp lý / gần đúng, v.v. Các thao tác khác (bổ sung?) Có thể khó khăn hơn.
    • $$36 \times 48 = 3^2\cdot 5^1\times 2^{2}\cdot 3^1\cdot 4^1 = {2^2}\cdot {3^2} \cdot 4^1 \cdot 5^1$$
    • Nhược điểm là, đòi hỏi các yếu tố, hoặc nhân tố hóa, một vấn đề khó khăn hơn nhiều so với nhân. Các hoạt động khác như bổ sung có thể rất khó khăn.