Không gian trạng thái có thể tiếp cận của một câu đố 8

Tôi mới bắt đầu nghiên cứu Trí tuệ nhân tạo và đang tự hỏi tại sao không gian trạng thái có thể tiếp cận của 8 câu đố là . Tôi thấy rằng số lượng hoán vị của gạch lànhưng không rõ ràng ngay tại sao một nửa trạng thái có thể của câu đố là không thể truy cập được ở bất kỳ trạng thái nào. Bất cứ ai có thể xây dựng?$9!/2$$9!$

Hình ảnh của một câu đố 8 để tham khảo với cấu hình ngẫu nhiên ở bên trái và trạng thái mục tiêu ở bên phải:

Đây là một bản mở rộng của bài trình bày này .

Bởi vì biểu đồ trạng thái bao gồm hai thành phần ngắt kết nối có kích thước bằng nhau. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng trạng thái đích là .$1\;2\;3\;...\;15\;\Box$

 1  2  3  4
 5  6  7  8
 9 10 11 12
13 14 15  *

Cho một trạng thái một nghịch đảo hoán vị là một gạch được đặt sau nhưng ; điều này xảy ra khi (a) ở cùng hàng , nhưng ở bên phải hoặc (b) ở hàng thấp hơn:$S$T j i < j T i T j T $T_i$$T_j$$i < j$$T_i$$T_j$$T_i$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 3  .  .  1      .  7  .  .
 .  .  .  .      .  5  .  .
 .  .  .  .      .  .  .  .
    (a)             (b)

Chúng tôi định nghĩa là số lượng gạch , xuất hiện sau . Ví dụ: ở trạng thái:T i i < j T $N_j$$T_i$$i < j$$T_j$

 1  2  3  4
 5 10  7  8
 9  6 11 12
13 14 15  *

chúng ta có rằng sau có một ô ( ) phải ở trước nó, vì vậy ; sau có bốn ô ( ) phải ở trước nó, vì vậy . T 6 N 7 = 1 T 10 T 7 , T 8 , T 9 , T 6 N 10 = $T_{7}$$T_6$$N_7=1$$T_{10}$$T_7, T_8, T_9, T_6$$N_{10}=4$

Đặt là tổng của tất cả và số hàng của ô trốngN i T $N$$N_i$$T_{\Box}$

Trong ví dụ trên, chúng ta có:$N = N_7 + N_8 + N_9 + N_{10} + row(T_{\Box}) = 1 + 1 +1 + 4 + 4=11$

Chúng ta có thể nhận thấy rằng khi ô trống được di chuyển theo chiều ngang thì không thay đổi; nếu chúng ta di chuyển ô trống theo chiều dọc thay đổi theo một số lượng chẵn.$N$ $N$

Ví dụ:

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  2  3      .  .  *  3
 4  5  *  .      4  5  2  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 3 \mbox{ (2 is placed after 3,4,5)} - 1 \mbox{ (empty tile is moved up)} = N + 2$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  *  4      .  .  3  4
 2  5  3  .      2  5  *  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 1 \mbox{ (2 is placed after 3)} - 2 \mbox{ (4,5 are placed after 3)} + 1 \mbox{ (empty tile is moved down)} = N$

Vì vậy, là bất biến dưới bất kỳ động thái hợp pháp nào của ô trống .$N \bmod 2$

Chúng ta có thể kết luận rằng không gian trạng thái được chia thành hai nửa bị ngắt kết nối , một có và không gian khác có .$N \bmod = 0$$N \mod 2 = 1$

Ví dụ: hai trạng thái sau không được kết nối:

 1  2  3  4     1  2  3  4
 5  6  7  8     5  6  7  8
 9 10 11 12     9 10 11 12
13 14 15  *    13 15 14  *  
    N = 4         N = 5