cắt chém so với cắt chung

Vấn đề cắt là những vấn đề trong đó một đối tượng lớn nhất định nên được cắt thành nhiều đối tượng nhỏ. Ví dụ, hãy tưởng tượng bạn có một nhà máy làm việc với tấm lớn của thủy tinh thô, chiều rộng và chiều dài . Có một số người mua, mỗi người muốn một số lượng nhỏ các tấm kính nhỏ không giới hạn. Người mua muốn các tấm có chiều dài và chiều rộng . Mục tiêu của bạn là cắt các tấm nhỏ từ tấm lớn, sao cho tổng số sử dụng được tối đa hóa và chất thải được giảm thiểu (cũng có các loại vấn đề cắt và đóng gói khác ).$W$$L$$i$$l_i$$w_i$

Một hạn chế phổ biến trong các vấn đề cắt là các vết cắt phải là vết cắt chém , tức là, mỗi hình chữ nhật hiện tại chỉ có thể được cắt thành hai hình chữ nhật nhỏ hơn; Không thể tạo hình chữ L v.v ... Rõ ràng, diện tích được sử dụng tối đa với các vết cắt chém có thể nhỏ hơn diện tích sử dụng tối đa mà không bị hạn chế.

Câu hỏi của tôi là: Có giới hạn trên và dưới về tỷ lệ giữa cắt chém tối ưu và cắt chung tối ưu không?

Công việc liên quan: Song et al. (2009) mô tả một thuật toán sử dụng một loại cắt chém bị hạn chế - cắt hai lần chém . Họ chứng minh, bằng cách sử dụng các ràng buộc hình học, tỷ lệ giữa lần cắt chém tối đa hai lần so với mức cắt chém tối đa được giới hạn bởi . Tôi đang tìm kiếm một kết quả tương đương về tỷ lệ giữa mức cắt chém tối đa so với mức cắt chung tối đa.$\frac{6}{7}$

Mặc dù điều này không chặt chẽ, tôi có thể đưa ra giới hạn dưới và trên là và về tỷ lệ trường hợp xấu nhất giữa vết cắt chém và vết cắt nói chung.$1/4$$3/4$

Chúng ta hãy bắt đầu với giới hạn trên và giả sử chúng ta được tặng một mảnh kính vuông có chiều dài cạnh là . Hơn nữa, chúng tôi có chính xác một người mua quan tâm đến các tấm kính hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài . Sử dụng các đường cắt chung, giải pháp tối ưu trông giống như hình dưới đây, với bốn hình chữ nhật mong muốn được đặt xung quanh một hình vuông nhỏ có chiều dài cạnh ở giữa.$2$$1-\varepsilon$$1+\varepsilon$$\varepsilon$

Dễ dàng thấy rằng mô hình cắt này không thể đạt được thông qua các vết cắt chém. Trong thực tế, bất kỳ mô hình cắt nào sử dụng các vết cắt chém có thể vừa với tối đa 3 hình chữ nhật mong muốn vào hình vuông ban đầu. Kết quả là, tỷ lệ tồi tệ nhất giữa vết cắt chém và vết cắt nói chung ít nhất là .$3/4$

Tiếp theo, chúng tôi có một cái nhìn vào giới hạn dưới. Gọi và là độ dài cạnh của tấm kính gốc. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả định rằng có tồn tại một người mua như rằng và . Nếu không, tờ gốc sẽ không thể sử dụng được, bất kể chúng ta sử dụng vết cắt chém hay vết cắt chung. Tuy nhiên, bằng cách sử dụng các vết cắt chém, chúng ta luôn có thể cắt ra ít nhất một phần tư tờ gốc bằng cách căn chỉnh các hình chữ nhật mà người mua mong muốn , như trong hình sau.$W$$L$$i$$w_i \leq W$$l_i \leq L$$i$

Lưu ý rằng hình chữ nhật màu đỏ tương ứng với một phần tư của toàn bộ tờ và được bao phủ hoàn toàn bởi người mua hình chữ nhật màu xám mà mong muốn. Mặt khác, ngay cả khi chúng tôi sử dụng các vết cắt chung, chúng tôi không thể sử dụng nhiều hơn toàn bộ bảng, điều này cho chúng tôi giới hạn dưới là .$i$$1/4$

Tôi biết rằng giới hạn dưới khá yếu và có lẽ nó có thể được cải thiện với công việc nhiều hơn một chút. Nhưng đó là một sự khởi đầu.