Độ phức tạp của bài toán SAT đơn điệu (+, 2)?

Để tiếp tục bài đăng này , chúng ta hãy xác định vấn đề Đơn điệu -SAT: $(+, 2^-)$

Cho một công thức CNF đơn điệu , trong đó mỗi biến xuất hiện chính xác một lần (dưới dạng chữ dương) và công thức 2-CNF đơn điệu được xác định trên cùng một biến là , trong đó tất cả các biến đều bị phủ định. Là satisfiable? $F^+$ $F_2^-$ $F^+$ $F^+ \land F_2^-$

Vấn đề này đã hoàn thành NP chưa?

— Xavier Labouze
nguồn

Đây là NP-hoàn thành. Trên thực tế, nó vẫn hoàn thành NP khi bị hạn chế ở dạng 3-CNF (không chỉ CNF). $F^+$

Bằng chứng là bằng cách chứng minh rằng vấn đề này ít nhất cũng khó như kiểm tra khả năng 3 màu của đồ thị. Sự tương ứng là sạch sẽ và thanh lịch. Đặt là một đồ thị vô hướng. Giới thiệu các biến , cho $G=(V,E)$ $x_{v,c}$ $v \in V$ và $c \in \{1,2,3\}$ , để thể hiện 3 màu của đồ thị. Đây $x_{v,c}$ có nghĩa là chúng ta đã cho đỉnh $v$ màu $c$ .

Để thể hiện rằng mỗi đỉnh phải nhận được ít nhất một màu, chúng tôi sẽ giới thiệu các mệnh đề $x_{v,1} \lor x_{v,2} \lor x_{v,3}$ cho mỗi đỉnh $v$ . Điều này cho chúng ta $F^+$ , I E,

F^{+} \equiv \underset{v \in V}{⋀} (x_{v, 1} \lor x_{v, 2} \lor x_{v, 3}) .

$F^+ \equiv \bigwedge_{v \in V} (x_{v,1} \lor x_{v,2} \lor x_{v,3}).$

Để thể hiện rằng không có hai điểm cuối của một cạnh có thể nhận được cùng một màu, chúng tôi sẽ giới thiệu một mệnh đề $\neg x_{u,c} \lor \neg x_{v,c}$ cho mỗi cạnh $(u,v) \in E$ . Và, để thể hiện rằng không có đỉnh nào có thể nhận nhiều hơn một màu, chúng tôi sẽ giới thiệu một mệnh đề $\neg x_{v,c} \lor \neg x_{v,c'}$ cho mỗi $c,c' \in \{1,2,3\}$ như vậy mà $c\ne c'.$ Để cho $F^-_2$ biểu thị công thức tương ứng.

F_{2}^{-} \equiv \underset{(bạn, v) \in E}{⋀} (\neg x_{bạn, c} \lor \neg x_{v, c}) \land \underset{v \in V, c \neq c^{'}}{⋀} (\neg x_{v, c} \lor \neg x_{v, c^{'}}) .

$F^-_2 \equiv \bigwedge_{(u,v) \in E} (\neg x_{u,c} \lor \neg x_{v,c}) \; \; \land \bigwedge_{v \in V,c\ne c'} (\neg x_{v,c} \lor \neg x_{v,c'}).$

Sau đó, thật dễ dàng để thấy rằng $F^+ \land F^-_2$ là thỏa đáng nếu và chỉ khi $G$ có 3 màu. Trong thực tế, mỗi nhiệm vụ thỏa mãn $F^+ \land F^-_2$ tương ứng ngay lập tức với 3 màu $G$ , và ngược lại. Do đó, việc kiểm tra mức độ thỏa mãn của lớp công thức này ít nhất cũng khó như kiểm tra khả năng 3 màu của đồ thị không có hướng, do đó, nó là NP-hard.

— DW
nguồn

Sự tương ứng của bạn với 3 màu là thực sự rõ ràng. Do đó đơn điệu

(3^{+}, 2^{-})

$(3^+,2^-)$ Vấn đề SAT rõ ràng là NP-đầy đủ. Tuy nhiên, đối với tôi, vẫn chưa rõ ràng rằng bất kỳ công thức CNF Monotone nào cũng có thể tương đương với công thức 3-CNF Monotone.

— Xavier Labouze

giảm đẹp!

— Vor

@XavierLabouze, xin lỗi, bạn đã mất tôi. Tôi đã không tuyên bố rằng mọi công thức Monotone CNF đều tương đương với công thức 3-CNF Monotone, và điều đó không cần thiết ở bất kỳ bước nào trong việc giảm bớt của tôi. Tôi sử dụng thực tế là bất kỳ công thức 3-CNF nào cũng là công thức CNF (đây là chuyện nhỏ), từ đó có vấn đề trong bài viết gốc cũng là NP-đầy đủ.

— DW

@DW Đúng rồi. Tôi có nghĩa là giảm từ

(+, 2^{-})

$(+,2^-)$ SAT để

(3^{+}, 2^{-})

$(3^+,2^-)$ SAT không rõ ràng như từ SAT đến 3-SAT.

— Xavier Labouze

Tôi đã tìm kiếm một ví dụ rõ ràng nhỏ nhất có thể cho

(3^{+}, 2^{-})

$(3^+, 2^-)$ SAT không thỏa mãn và có thể kiểm chứng bằng tay. Tôi sẽ thực sự biết ơn nếu bạn có thể giúp tôi với một ..?

— TheoryQuest1