Hãy giải thích định nghĩa chính thức này của tính toán

Tôi đang cố gắng tấn công TAOCP một lần nữa, vì sự nặng nề theo nghĩa đen của các tập tôi gặp khó khăn khi thực hiện nó một cách nghiêm túc. Trong TAOCP 1 Knuth viết, trang 8, các khái niệm cơ bản ::

Để cho $A$là một tập hợp hữu hạn của các chữ cái. Để cho$A^*$ là tập hợp của tất cả các chuỗi trong $A$ (tập hợp tất cả các chuỗi theo thứ tự $x_1$ $x_2$ ... $x_n$ Ở đâu $n \ge 0$ và $x_j$ trong $A$ cho $1 \le j \le n$). Ý tưởng là mã hóa các trạng thái tính toán sao cho chúng được biểu diễn bằng các chuỗi$A^*$. Bây giờ hãy để$N$ là một số nguyên không âm và Q (trạng thái) là tập hợp của tất cả $(\sigma, j)$, Ở đâu $\sigma$ trong $A^*$ và j là một số nguyên $0 \le j \le N$; để cho$I$ (đầu vào) là tập con của Q với $j=0$ và để $\Omega$ (đầu ra) là tập hợp con với $j = N$. Nếu$\theta$ và $\sigma$ là những chuỗi trong $A^*$, chúng tôi nói rằng $\theta$ xảy ra trong $\sigma$ nếu $\sigma$ có hình thức $\alpha \theta \omega$ cho chuỗi $\alpha$ và $\omega$. Để hoàn thành định nghĩa của chúng tôi, hãy để$f$ là một hàm của loại sau, được xác định bởi các chuỗi $\theta_j$, $\phi_j$ và các số nguyên $a_j$, $b_j$ cho $0 \le j \le N$:

• $f((\sigma, j)) = (\sigma, a_j)$ nếu $\theta_j$ không xảy ra trong $\sigma$
• $f((\sigma, j)) = (\alpha \psi_j \omega, b_j)$ nếu $\alpha$ là chuỗi ngắn nhất có thể $\sigma = \alpha \theta_j \omega$
• $f((\sigma,N)) = (\sigma, N)$

Không phải là một nhà khoa học máy tính, tôi gặp khó khăn trong việc nắm bắt toàn bộ đoạn văn. Tôi có thể hiểu được ý tưởng đằng sau một hệ thống các mã, nhưng tôi đã không tiến bộ hiệu quả trong việc hiểu. Tôi nghĩ rằng vấn đề chính là tôi không biết cách đọc nó một cách hiệu quả.

Tôi có thể giải thích đoạn văn trên để tôi có thể hiểu nó không, và đưa cho tôi một chiến lược để có được logic trong việc diễn giải những câu này?

Chúng tôi đang thiếu một số bối cảnh vì vậy tôi không biết Knuth đang cố gắng tạo ra điểm nào, nhưng đây là cách diễn giải một máy Turing theo cách này. Có lẽ nó sẽ giúp bạn hiểu những gì đang xảy ra. Nói chung, một cách tốt để nắm bắt một khái niệm là chơi với nó. Trong trường hợp mô hình lập trình, điều đó có nghĩa là viết một chương trình. Trong trường hợp này, tôi sẽ chỉ cho bạn cách viết bất kỳ chương trình nào .

Giả sử băng của máy Turing có ký hiệu $\{0,1,\epsilon\}$ (Ở đâu $\epsilon$ là viết tắt của "trống") và thêm một biểu tượng nữa đại diện cho vị trí của đầu $H$. Các tiểu bang của bạn sẽ là cặp mẫu$(q,\alpha)$, Ở đâu $q$ là trạng thái của máy Turing và $\alpha \in \{0,\ldots,14\}$. Chúng tôi cũng xác định$(F,0)$ với $N$ cho bất kỳ trạng thái cuối cùng.

Bật (không trống) $x$, điểm bắt đầu của bạn sẽ là $(Hx,(s,0))$, Ở đâu $s$là trạng thái bắt đầu. Phần khó là mã hóa trạng thái. Giả sử rằng ở trạng thái$q$, khi đọc đầu vào $x$, bạn thay thế nó bằng $a(q,x)$, di chuyển theo hướng $D(q,x) \in \{L,R\}$và chuyển sang trạng thái $\sigma(q,x)$. Cho$\theta$s, chúng tôi có

$$\begin{align*} \theta_{q,0} &= 0H0, & \theta_{q,1} &= 0H1, & \theta_{q,2} &= 0H\epsilon, \\ \theta_{q,3} &= 1H0, & \theta_{q,4} &= 1H1, & \theta_{q,5} &= 1H\epsilon, \\ \theta_{q,6} &= \epsilon H0 & \theta_{q,7} &= \epsilon H1, & \theta_{q,8} &= \epsilon H\epsilon, \\ \theta_{q,9} &= H0, & \theta_{q,10} &= H1, & \theta_{q,11} &= H\epsilon, \\ \theta_{q,12} &= 0H, & \theta_{q,13} &= 1H, & \theta_{q,14} &= \epsilon H. \end{align*}$$ Cho $a$s, chúng tôi có $a_{q,i} = (q,i+1)$ cho $i < 14$và $a_{q,14} = (q,14)$, mặc dù chúng ta không bao giờ nên thực sự đi xa đến thế. Cho$b$s, chúng tôi có $$\begin{align*} &b_{q,0} = b_{q,3} = b_{q,6} = b_{q,9} = (\sigma(q,0),0), \\ &b_{q,1} = b_{q,4} = b_{q,7} = b_{q,10} = (\sigma(q,1),0), \\ &b_{q,2} = b_{q,5} = b_{q,8} = b_{q,11} = b_{q,12} = b_{q,13} = b_{q,14} = (\sigma(q,\epsilon),0). \end{align*}$$ Bây giờ nó vẫn còn để xác định $\psi$S. Để cho$a_0 = a(q,0)$. Nếu$D(q,0) = L$ sau đó $$\begin{align*} \psi_{q,0} &= H0a_0, & \psi_{q,3} &= H1a_0, & \psi_{q,6} &= \psi_{q,9} = H\epsilon a_0. \end{align*}$$ Nếu $D(q,0) = R$ sau đó $$\begin{align*} \psi_{q,0} &= 0a_0H, & \psi_{q,3} &= 1a_0H, & \psi_{q,6} &= \epsilon a_0 H, & \psi_{q,9} &= a_0H\epsilon. \end{align*}$$ Tiếp theo, hãy $a_1 = a(q,1)$. Nếu$D(q,1) = L$ sau đó $$\begin{align*} \psi_{q,1} &= H0a_1, & \psi_{q,4} &= H1a_1, & \psi_{q,7} &= \psi_{q,10} = H\epsilon a_1. \end{align*}$$ Nếu $D(q,1) = R$ sau đó $$\begin{align*} \psi_{q,1} &= 0a_1H, & \psi_{q,4} &= 1a_1H, & \psi_{q,7} &= \epsilon a_1 H, & \psi_{q,10} &= a_1 H\epsilon. \end{align*}$$ Cuối cùng, hãy để $a_\epsilon = a(q,\epsilon)$. Nếu$D(q,\epsilon) = L$ sau đó $$\begin{align*} \psi_{q,2} &= H0a_\epsilon, & \psi_{q,5} &= H1a_\epsilon, & \psi_{q,8} &= \psi_{q,11} = H\epsilon a_\epsilon, \\ \psi_{q,12} &= H0a_\epsilon, & \psi_{q,13} &= H1a_\epsilon, &\psi_{q,14} &= H\epsilon a_\epsilon. \end{align*}$$ Nếu $D(q,\epsilon) = R$ sau đó $$\begin{align*} \psi_{q,2} &= 0a_\epsilon H, & \psi_{q,5} &= 1a_\epsilon H, & \psi_{q,8} &= \epsilon a_\epsilon H, & \psi_{q,11} &= a_\epsilon H\epsilon, \\ \psi_{q,12} &= 0a_\epsilon H, & \psi_{q,13} &= 1a_\epsilon H, & \psi_{q,14} &= \epsilon a_\epsilon H. \end{align*}$$

Bây giờ áp dụng $f$liên tục cho đến khi bạn gặp khó khăn. Nếu bạn theo dõi quá trình xây dựng, bạn sẽ thấy rằng chúng tôi đã mô phỏng hoạt động của máy Turing.

Hãy để chúng tôi phá vỡ nó từng chút một. Trước hết, hãy nhớ những gì Knuth đã viết trên trang 7:

Hãy để chúng tôi chính thức xác định một phương pháp tính toán là một bộ tứ$(Q,I,\Omega,f)$, trong đó $Q$ là một tập hợp chứa các tập hợp con $I$ và $\Omega$và $f$ là một chức năng từ $Q$vào chính nó [...] Bốn số lượng$Q$, $I$, $\Omega$, $f$ được dự định để đại diện cho trạng thái tính toán, đầu vào, đầu ra và quy tắc tính toán.

Đây là phác thảo. Bạn phải đọc "đại diện" là "chứa";$Q$ sẽ chứa các trạng thái (một số trong đó là trong $I$, một số trong $\Omega$) và $f$sẽ là một chức năng chuyển tiếp giữa các quốc gia; nghĩ về nó như một chương trình

Để cho $A$là một tập hợp hữu hạn của các chữ cái. Để cho$A^*$ là tập hợp của tất cả các chuỗi trong $A$ (tập hợp tất cả các chuỗi theo thứ tự $x_1$ $x_2$ ... $x_n$ Ở đâu $n \ge 0$ và $x_j$ trong $A$ cho $1 \le j \le n$).

Đây chỉ là một sự nhắc lại về những gì $A^*$Là. Xem thêm tại đây .

Ý tưởng là mã hóa các trạng thái tính toán sao cho chúng được biểu diễn bằng các chuỗi $A^*$.

Đây có lẽ là câu quan trọng. Chúng ta đang nói về các tính toán , đó là các chuỗi thực thi của một số câu lệnh (ngôn ngữ lập trình) thao túng một số trạng thái , có thể được coi là các giá trị trong các ô nhớ hoặc định giá các biến. Knuth nói ở đây rằng ông muốn mã hóa các trạng thái này một cách trừu tượng, cụ thể là từ trên một số bảng chữ cái.

Ví dụ: Xem xét một chương trình sử dụng (nhiều nhất)$k$các biến, mỗi biến lưu một số nguyên. Đó là, một trạng thái được đưa ra bởi bộ giá trị$(x_1, \dots, x_k)$ Ở đâu $x_k$ là giá trị (hiện tại) của $k$-thứ biến. Để mã hóa các trạng thái của biểu mẫu này bằng ngôn ngữ chính thức, chúng tôi có thể chọn$A = \{0,1,\#\}$ với $\#$một dải phân cách. Bây giờ mô hình trạng thái như vậy bằng$\#\overline{x_1}\#\cdots\#\overline{x_k}\#$ Ở đâu $\overline{x_i}$ là mã hóa nhị phân của $x_i$.

Đặc biệt, $(3,5,0)$ sẽ là $\#11\#101\#0\#$.

Bây giờ hãy để $N$ là một số nguyên không âm và Q là tập hợp của tất cả $(\sigma, j)$, Ở đâu $\sigma$ trong $A^*$ và j là một số nguyên $0 \le j \le N$; để cho$I$ là tập con của Q với $j=0$ và để $\Omega$ là tập hợp con với $j = N$.

Bạn đã trích dẫn sai ở đó (xấu Stefano!); các dấu ngoặc đơn không có trong văn bản gốc và chúng bị sai lệch (xem ở trên). Knuth định nghĩa$Q$ở đây là tập hợp của tất cả các trạng thái có thể ($\sigma \in A^*$) tại tất cả các vị trí có thể trong tính toán ($j$có thể hiểu là chương trình truy cập). Vì thế,$Q$ chứa tất cả các trạng thái được lập chỉ mục câu lệnh bất kỳ tính toán của thuật toán được đưa ra bởi $f$có thể giả định. Theo định nghĩa, chúng tôi bắt đầu với bộ đếm chương trình$0$ và kết thúc bằng $N$, do đó, các tiểu bang được lập chỉ mục $0$ là các trạng thái đầu vào và các trạng thái được lập chỉ mục $N$ là các trạng thái đầu ra.

Nếu $\theta$ và $\sigma$ là những chuỗi trong $A^*$, chúng tôi nói rằng $\theta$ xảy ra trong $\sigma$ nếu $\sigma$ có hình thức $\alpha \theta \omega$ cho chuỗi $\alpha$ và $\omega$.

Tôi hy vọng rằng điều này là rõ ràng; nó chỉ là một định nghĩa (tái) của các chuỗi con.

Để hoàn thành định nghĩa của chúng tôi, hãy để $f$ là một hàm của loại sau, được xác định bởi các chuỗi $\theta_j$, $\phi_j$ và các số nguyên $a_j$, $b_j$ cho $0 \le j \le N$:

• $f((\sigma, j)) = (\sigma, a_j)$ nếu $\theta_j$ không xảy ra trong $\sigma$
• $f((\sigma, j)) = (\alpha \psi_j \omega, b_j)$ nếu $\alpha$ là chuỗi ngắn nhất có thể $\sigma = \alpha \theta_j \omega$
• $f((\sigma,N)) = (\sigma, N)$

Đây là một ngôn ngữ lập trình nhỏ; nếu bạn sửa chữa$\theta_j, \psi_j, a_j, b_j$, bạn có một chương trình. Trên quầy chương trình$j$, $f$ thay thế cho sự xuất hiện nhiều nhất $\theta_j$ ở bang với $\psi_j$ và đi đến tuyên bố $b_j$. Nếu không có$\theta_j$ ở trạng thái hiện tại, nó đi đến tuyên bố $a_j$. Các vòng lặp chương trình if statement$N$ đạt được, chấm dứt mô hình.

Ở nửa trên của trang 8, có một ví dụ cụ thể hơn về "chương trình" $f$. Hãy nhớ rằng Knuth sẽ sử dụng ngôn ngữ lắp ráp sau này; điều này cho biết cách anh ta nhìn vào các chương trình (các tuyên bố nguyên tử được kết nối bằng các bước nhảy).

Văn bản đó mô tả mã giả (Python) sau:

subs = a list of string pairs  
As = a list of integers  
Bs = a list of integers

def f(state, pc):  
  if pc == N: return (state, pc)  
  if state.find(subs[pc][0]) != -1:  
    return (state.replace(subs[pc][0],subs[pc][1],1), Bs[pc])  
  else:  
    return (state,As[pc])  

Hàm f có lẽ sẽ được áp dụng nhiều lần.

Ba điểm cuối cùng là tất cả những gì bạn thực sự cần một khi bạn hiểu các ký hiệu. Tất cả những gì xuất hiện trước đó là một chút tương tự để giải thích cách Python hoạt động trước khi đưa ra mã Python.