3-SAT trong đó các biến xảy ra nhiều lần như một nghĩa đen tích cực và như một nghĩa đen tiêu cực

Đặt là công thức 3-CNF trên các biến . Mỗi biến , , xảy ra nhiều lần như một nghĩa đen và một nghĩa đen trong .$\phi$$x_1,x_2,\ldots,x_n$$x_i$$i \in [n]$$\phi$

Là NP-đầy đủ để quyết định sự thỏa mãn của một công thức như vậy? Giả sử nó là, tôi sẽ quan tâm đến việc nếu nó có một cái tên đặc biệt. Có lẽ nó cũng đã được điều tra ở đâu đó?

Vấn đề đã được nghiên cứu như P vấn đề N-SAT bởi Ryo Yoshinaka trong bậc cao Matching trong Linear Lambda Calculus (trong Hội nghị quốc tế lần thứ 16, RTA 2005, Nara, Nhật Bản, ngày 19-ngày 21 Tháng Tư, 2005, Kỷ yếu) .$m$$n$

Các $m$P$n$N-SAT là một vấn đề SAT trong đó mỗi nghĩa đen tích cực xảy ra chính xác $m$ thời gian và từng chữ chính xác $n$lần Nó đã được chỉ ra rằng thậm chí$2$P$1$N-SAT là NP-hoàn chỉnh. Lưu ý rằng$1$P$1$N-SAT nằm trong P vì mỗi biến có thể dễ dàng bị loại bỏ sau một bước phân giải, điều này không làm tăng số mệnh đề trong công thức.

Nó là NP-Complete (nhưng tôi không biết nó có tên không): giả sử rằng một biến $x_i$ xuất hiện như một nghĩa đen tích cực $n$ nhiều lần hơn là một nghĩa đen.

Sau đó, bạn có thể "cân bằng" nó thêm $n$ mệnh đề 3CNF mới với $n$ biến mới $y_1,...,y_n$:

$-x_i \lor y_1 \lor -y_2$
$-x_i \lor y_2 \lor -y_3$
...
$-x_i \lor y_{n-1} \lor -y_n$
$-x_i \lor y_n \lor -y_1$

Nếu $x_i$ xuất hiện nhiều lần dưới dạng nghĩa đen, áp dụng mở rộng tương tự nhưng sử dụng $x_i$ trong các mệnh đề 3CNF mới thay vì $-x_i$.

Các $y_i$ được cân bằng và công thức kết quả (có thể được xây dựng trong thời gian đa thức) rõ ràng là thỏa đáng khi và chỉ khi công thức 3CNF ban đầu là thỏa đáng: bất cứ giá trị nào của $x_i$ các điều khoản mới có thể được thỏa mãn thiết lập $y_i = true$, vì vậy họ không "can thiệp" vào sự thỏa mãn của công thức ban đầu.