Kết nối giữa chức năng tiền tố KMP và tự động khớp chuỗi

Để cho $A_P = (Q,\Sigma,\delta,0,\{m\})$các automaton chuỗi phù hợp cho mô hình$P \in \Sigma^m$, đó là

• $Q = \{0,1,\dots,m\}$
• $\delta(q,a) = \sigma_P(P_{0,q}\cdot a)$ cho tất cả $q\in Q$ và $a\in \Sigma$

với $\sigma_P(w)$ độ dài của tiền tố dài nhất của $P$ đó là một hậu tố của $w$, đó là

$\qquad \displaystyle \sigma_P(w) = \max \left\{k \in \mathbb{N}_0 \mid P_{0,k} \sqsupset w \right\}$.

Bây giờ, hãy $\pi$ các chức năng tiền tố từ thuật toán Knuth-Morris-Pratt , đó là

$\qquad \displaystyle \pi_P(q)= \max \{k \mid k < q \wedge P_{0,k} \sqsupset P_{0,q}\}$ .

Hóa ra, người ta có thể sử dụng $\pi_P$ để tính toán $\delta$ một cách nhanh chóng; quan sát trung tâm là:

Giả sử các khái niệm trên và $a \in \Sigma$ . Đối với $q \in \{0,\dots,m\}$ với $q = m$ hoặc $P_{q+1} \neq a$ , nó giữ điều đó

$\qquad \displaystyle \delta(q,a) = \delta(\pi_P(q),a)$

Nhưng làm thế nào tôi có thể chứng minh điều này?

Để tham khảo, đây là cách bạn tính toán $\pi_P$ :

m ← length[P ]
π[0] ← 0
k ← 0
for q ← 1 to m − 1 do
  while k > 0 and P [k + 1] =6 P [q] do
    k ← π[k]
    if P [k + 1] = P [q] then
       k ← k + 1
    end if
    π[q] ← k
 end while
end for

return π

Trước hết, lưu ý rằng theo định nghĩa

• $\delta(q,a) = \sigma_P(P_{0,q}\cdot a) =: s_1$ và
• $\delta(\pi_P(q),a) = \sigma_P(P_{0,\pi_P(q)}\cdot a) =: s_2$ .

Hãy để chúng tôi điều tra và trong một bản phác thảo:$s_1$$s_2$

^{[ nguồn ]}

Bây giờ giả sử ; điều này mâu thuẫn với sự lựa chọn tối đa của trực tiếp. Nếu chúng tôi giả sử chúng tôi mâu thuẫn với thực tế là cả và đều được chọn tối đa, đặc biệt vì . Vì cả hai trường hợp đều dẫn đến mâu thuẫn giữ,$s_2 > s_1$$s_1$$s_1 > s_2$ $s_2$$\pi_P(q)$$\pi_P(q) \geq s_1 - 1$$s_1=s_2$

Theo yêu cầu, một phiên bản công phu hơn của bằng chứng:

Bây giờ chúng tôi phải hiển thị ; chúng tôi làm điều này bằng cách chỉ ra rằng điều ngược lại dẫn đến mâu thuẫn.$s_1=s_2$

• Giả sử . Lưu ý rằng vì và theo định nghĩa của . Do đó, - tiền tố của và hậu tố của - dài hơn , theo định nghĩa của là tiền tố dài nhất của đó là hậu tố của . Đây là một mâu thuẫn.$s_2 > s_1$$P_{0,s_2} \sqsupset P_{0,q}\cdot a$$P_{0,s_2} \sqsupset P_{0,\pi_P(q)}\cdot a$$P_{0,\pi_P(q)} \sqsupset P_{0,q}$$s_2$$P_{0,s_2}$$P$ $P_{0,q}\cdot a$$P_{0,s_1}$$s_1$$P$$P_{0,q}\cdot a$

Trước khi tiếp tục với trường hợp khác, chúng ta hãy xem . Quan sát rằng vì , chúng ta có . Giả sử rằng ngay lập tức mâu thuẫn với sự lựa chọn tối đa của ( nằm trong tập được chọn từ).$\pi_P(q) \geq s_1 - 1$$P_{0,s_1} \sqsupset P_{0,q}\cdot a$$P_{0,s-1} \sqsupset P_{0,q}$$\pi_P(q) < s_1 - 1$$\pi_P(q)$$s_1 - 1$$\pi_P(q)$

• Giả sử . Chúng tôi vừa hiển thị và nhớ rằng . Do đó, mâu thuẫn với lựa chọn tối đa của ( nằm trong tập được chọn từ).$s_1 > s_2$$|P_{0,\pi_P(q)}\cdot a| \geq s_1$$P_{0,\pi_P(q)}\cdot a \sqsupset P_{0,q} \cdot a$$s_1 > s_2$$s_2$$s_1$$s_2$

Vì và thể giữ được, chúng tôi đã chứng minh rằng ,$s_1 > s_2$$s_2 > s_1$$s_1 = s_2$