MIN-2-XOR-SAT và MAX-2-XOR-SAT: họ có khó NP không?

Độ phức tạp của và gì? Họ ở P à? Họ có khó NP không?$\text{MIN-2-XOR-SAT}$$\text{MAX-2-XOR-SAT}$

Để chính thức hóa điều này chính xác hơn, hãy để

trong đó và mỗi mệnh đề có dạng hoặc .$\mathbf{x} = (x_1,\dots,x_m)$$C_i$$(x_i \oplus x_j)$$(x_i \oplus \neg x_j)$

Vấn đề là tìm một bài tập cho thỏa mãn . Vấn đề này nằm ở , vì nó tương ứng với một hệ phương trình tuyến tính mod .$\text{2-XOR-SAT}$$\mathbf{x}$$\Phi$$P$$2$

Vấn đề là tìm một bài tập cho để tối đa hóa số mệnh đề được thỏa mãn. Vấn đề là tìm một bài tập cho để giảm thiểu số lượng mệnh đề được thỏa mãn. Sự phức tạp của những vấn đề này là gì?$\text{MAX-2-XOR-SAT}$$\mathbf{x}$$\text{MIN-2-XOR-SAT}$$\mathbf{x}$

Lấy cảm hứng từ NP hoặc MIN-MAX-True-2-XOR-SAT NP-hard?

Xin lỗi vì đã trả lời một bài viết cũ

Vấn đề xác định xem một trường hợp MONOTONE-2-XOR-SAT (tất cả các mệnh đề thuộc loại ) có thỏa đáng hay không có thể được giảm xuống thành vấn đề xác định xem đồ thị có phải là lưỡng cực hay không, hãy xem điều này .$({x_i}\oplus x_j)$

Để làm điều đó, chúng ta tạo một biểu đồ với một nút cho mỗi chữ của công thức và chúng ta kết nối từng chữ với nhau nếu chúng nằm trong cùng một mệnh đề (các cạnh là mệnh đề)$G$

Ví dụ:

Nếu chúng ta có một công thức không thể thoả mãn đó là $({x_1}\oplus x_2) \wedge ({x_1}\oplus x_3) \wedge({x_2}\oplus x_3) \wedge ({x_1}\oplus x_4)$

Chúng tôi có một biểu đồ như thế này:

đó không phải là lưỡng cực

Có ba mệnh đề thỏa đáng và vì vậy chúng ta chỉ cần loại bỏ một cạnh

Bây giờ, chúng ta có thể giảm vấn đề xác định xem chúng ta có thể tìm thấy một sơ đồ con lưỡng cực tối đa với đỉnh với vấn đề xác định xem chúng ta có thể thỏa mãn các mệnh đề k trong công thức MONOTONE-MAX-2XOR-SAT hay không, xem phần này . Và bài toán biểu đồ con lưỡng cực tối đa tương đương với cắt tối đa$k$$k$

Để thực hiện việc giảm, chúng tôi chỉ cần tạo một chữ mới cho mỗi đỉnh và chúng tôi tạo một mệnh đề cho mỗi cạnh kết nối hai chữ

Ví dụ:

Chúng tôi có biểu đồ này,

Chúng tôi tạo ra công thức follwing $({x_1}\oplus x_2) \wedge ({x_1}\oplus x_4) \wedge({x_2}\oplus x_4) \wedge ({x_2}\oplus x_3) \wedge ({x_4}\oplus x_5) \wedge ({x_3}\oplus x_5)$

Vì vậy, nếu chúng ta có thể tìm thấy một bài tập thỏa mãn các mệnh đề điều đó có nghĩa là có một sơ đồ con lưỡng cực có ít nhất k cạnh.$k$$k$

$(x_i\oplus x_j)$$x_i$$x_i\oplus x_j$$x_i\neq x_j$$x_i\oplus x_j$ là đúng nếu các đỉnh tương ứng đã được gán các màu khác nhau trong biểu đồ.

Nếu tất cả các đỉnh của đồ thị có thể được tô màu bằng cách sử dụng 2 màu và không có hai đỉnh nào có chung cạnh được gán cùng màu thì phương trình là thỏa đáng.

Nhưng một đồ thị có 2 màu, nó là một đồ thị lưỡng cực. Và xác định xem một đồ thị là lưỡng cực có thể được thực hiện trong thời gian đa thức. Do đó, vấn đề nằm ở P, bởi vì nếu chúng ta có thể xác định trong thời gian đa thức rằng đồ thị là đồ thị lưỡng cực thì nó có thể giải được, nếu không thì không thể giải được.