Kết nối giữa khả năng đúc và độ lồi

Tôi tự hỏi nếu có bất kỳ kết nối giữa đa giác lồi và đối tượng castable? Chúng ta có thể nói gì về khả năng đúc của đối tượng nếu chúng ta biết rằng đối tượng là đa giác lồi và ngược lại.

Chúng ta hãy tập hợp một vài điều cơ bản mà chúng ta phải biết.

Đối tượng có thể đúc nếu nó có thể loại bỏ khỏi khuôn.

Đa diện P có thể được loại bỏ khỏi khuôn của nó bằng một bản dịch theo hướng khi và chỉ khi tạo một góc ít nhất với bình thường bên ngoài của tất cả các khía cạnh thông thường của P .$\vec{d}$$\vec{d}$$90^{\circ}$

Đối với một thử nghiệm đối tượng tùy ý cho khả năng đúc có độ phức tạp thời gian . Theo tôi, đối với đa giác lồi nếu có thể được cải thiện thành thời gian tuyến tính, bởi vì đối với mọi khía cạnh hàng đầu mới, chúng ta nên kiểm tra rằng vectơ tạo ra một góc ít nhất với bên ngoài bình thường không phải là tất cả nhưng chỉ có hai mặt bình thường liền kề của P.$O(n^2)$$\vec{d}$$90^{\circ}$

Nếu điều này đúng thì ít nhất chúng ta đã cải thiện việc kiểm tra khả năng đúc trong trường hợp đa giác lồi.

Chúng ta có thể nói khác về khả năng đúc và độ lồi. Đặc biệt thú vị để biết, nếu castable cho chúng ta một cái gì đó về lồi.

Đây là một câu trả lời thích hợp nhưng hãy sửa tôi, tôi nghĩ rằng tôi đã không có được định nghĩa đúng. Đây là lý do tại sao tôi bắt đầu với những sự thật đơn giản nên được kiểm tra trước.

Tôi cho rằng bạn đang nói về $\vec v$-Khả năng của một khối đa diện "mở".

1. Thật vậy, dường như không có khối đa diện "kín" nào $\vec v$-có thể nghe được.

2. Cho mọi $\vec v$, một khối đa diện "đóng" lồi luôn có thể được cắt thành hai phần "mở" trong một mặt phẳng bình thường $\vec v$ đó là $\vec v$-castable và $(-\vec v)$-có thể nghe được.

3. Bài kiểm tra $\vec v$-castability là trong $O(n)$ (ngay cả khi không lồi)

4. Vấn đề (Có $\vec v$ thứ $P$ Là $\vec v$-castable?) dường như có thể giảm tuyến tính với thân tàu lồi , nằm trong$O(n\log n)$:

   1. Đầu tiên hãy xem xét từng bình thường $\vec{n_i}$ vào một điểm của quả cầu đơn vị.

   2. Tính toán $H$ vỏ lồi của những điểm này.

   3. Nếu nguồn gốc $0$ trong $H$ sau đó cho tất cả $\vec v$, $P$ không phải $\vec v$-có thể nghe được.

   4. Nếu nguồn gốc $0$ không có trong $H$ sau đó để $\vec v$ là vectơ bắt đầu từ hình chiếu của $0$ trên $H$ và kết thúc tại $0$. Vectơ$\vec v$ định nghĩa một nửa không gian không chứa $\vec{n_i}$ điều đó có nghĩa là $(\vec v, \vec{n_i})>90°$.

   5. Nếu nguồn gốc $0$ là trên bề mặt của $H$, chỉ cần bình thường của $H$ trong $0$ cho $\vec v$.

không phải trong thân tàu lồi iff tồn tại $\vec v$ như vậy mà

1. Nếu $P$là lồi và "mở" (bất kể nó có nghĩa là gì), khi đó bạn chỉ cần "biên giới" của nó và hướng tương ứng. Bạn áp dụng thuật toán tương tự như trên trên biên giới (cộng với vectơ định hướng) làm giảm độ phức tạp. Đối với một đa giác, nó trở thành$O(1)$ nếu bạn đã biết hai phân đoạn ở biên giới.

Hi vọng điêu nay co ich.

Từ các đa giác có thể đúc và đúc được của Rappaport và Rosenbloom (1994). Với các đỉnh của đa giác theo thứ tự theo chiều kim đồng hồ, có thể xác định được 2 mốc trong thời gian O (n), có thể xác định 2-cast trong thời gian O (n log n).