Chứng minh dấu vân tay

Đặt là hai số nguyên từ khoảngĐặt là số nguyên tố ngẫu nhiên vớiChứng minh rằng $a \neq b$ $[1, 2^n].$ $p$ $1 \le p \le n^c.$

{Pr}_{p \in P r i m e s} {a \equiv b (\mod p)} \leq c \ln (n) / (n^{c - 1}) .

$\text{Pr}_{p \in \mathsf{Primes}}\{a \equiv b \pmod{p}\} \le c \ln(n)/(n^{c-1}).$

Gợi ý: Do hệ quả của định lý số nguyên tố, chính xác $n/ \ln(n) \pm o(n/\ln(n))$ nhiều số từ $\{ 1, \ldots, n \}$ là số nguyên tố.

Kết luận: chúng ta có thể nén $n$ bit thành các bit $O(\log(n))$ và có tỷ lệ dương tính giả khá nhỏ.

Câu hỏi của tôi là làm thế nào tôi có thể đưa ra

{Pr}_{p \in P r i m e s} {a \equiv b (\mod p)} \leq c \ln (n) / (n^{c - 1})

$\text{Pr}_{p \in \mathsf{Primes}}\{a \equiv b \pmod{p}\} \le c \ln(n)/(n^{c-1})$ ?

— người dùng1374864
nguồn

Vì khó khăn dường như nằm ở phần toán học, tôi cảm thấy câu hỏi này sẽ có nhiều hơn ở nhà về Toán học . Tuy nhiên, với ứng dụng để nén, tôi nghĩ rằng câu hỏi cũng có thể được chấp nhận ở đây. Tôi sẵn sàng chuyển câu hỏi vì nó phù hợp hơn ở nơi khác hoặc để lại câu hỏi ở đây vì nó được hỏi ở đây và nó không lạc đề.

— Gilles 'SO- ngừng trở nên xấu xa'

Đây là bài đăng chéo trên Toán học .

— Kaveh

Xác suất mà một số nguyên tố ngẫu nhiên được chọn thống nhất giữa và thỏa mãn là số lượng các số nguyên tố trong phạm vi này thỏa mãn chia cho tổng số số nguyên tố trong phạm vi này. Viết nếu đúng và nếu sai và cho số lượng các số nguyên tố nhỏ hơn : $P$ $1$ $n^c$ $a \equiv b \mod{p}$ $a \equiv b \mod{p}$ $[C] = 1$ $C$ $[C] = 0$ $C$ $\pi(x)$ $x$

P = \frac{\sum_{p \leq n^{c}} [p prime] [p ∣ (a - b)]}{π (n^{c})}

$P = \dfrac{\sum\limits_{p\le n^c} [p\text{ prime}] [p \mid (a-b)]}{\pi(n^c)}$

Vì , có nhiều nhất số nguyên tố riêng biệt phân chia . Định lý số nguyên tố trực tiếp đưa ra một giới hạn trên cho mẫu số. Do đó: $|a-b| \le 2^n$ $n$ $a-b$

P \leq \frac{n}{n^{c} / \ln (n^{c}) + o (n^{c} / \ln (n^{c}))} = \frac{c \ln (n)}{n^{c - 1}} (1 + o (1))

$P \le \dfrac{n}{n^c/\ln(n^c) + o(n^c/\ln(n^c))} = \dfrac{c \ln(n)}{n^{c-1}} (1+o(1))$

Bạn sẽ không nhận được một ràng buộc chính xác từ một phiên bản tiệm cận của định lý số nguyên tố. Một ràng buộc chính xác, nếu tôi không nhầm, là cho . Sử dụng ràng buộc này, chúng ta thấy rằng nếu thì $\pi(x) \gt \dfrac{x}{\ln(x)}$ $x \ge 11$ $n^c \ge 11$

P \leq \frac{c \ln (n)}{n^{c - 1}}

$P \le \dfrac{c \ln(n)}{n^{c-1}}$

Ứng dụng: chúng ta có thể nén (cần bit để biểu diễn chính xác) bằng cách lưu trữ cho một số số nguyên tố ngẫu nhiên . Nếu chúng ta sử dụng các số nguyên tố được chọn độc lập với giá trị của , thì biểu diễn yêu cầu các để lưu trữ các giá trị modulo mỗi lần chọn nguyên tố. Xác suất va chạm trên mỗi số nguyên tố nhiều nhất là . Để đánh giá độ chính xác tăng với sẽ cần phân tích thêm. $a \le 2^n$ $n$ $a \mod p$ $p_i$ $k$ $a$ $k \, \lceil c\,\log_2(n) \rceil = O(k \log(n))$ $c \ln(n) / n^{c-1} = O(\ln(n)/n^{c-1})$ $k$

— Gilles 'SO- ngừng là ác'
nguồn