Có bao nhiêu chuỗi gần với một chuỗi các chuỗi đã cho?

Câu hỏi này đã được nhắc nhở bởi các cấu trúc dữ liệu hiệu quả để xây dựng trình kiểm tra chính tả nhanh .

Với hai chuỗi , chúng tôi nói rằng họ -close nếu họ Damerau-khoảng cách levenshtein ¹ là nhỏ, tức là cho một cố định . Một cách không chính thức, là số lần xóa, chèn, thay thế và (hàng xóm) tối thiểu cần thiết để chuyển đổi thành . Nó có thể được tính trong bằng lập trình động. Lưu ý rằng là một số liệu , đặc biệt đối xứng.$u,v$$k$$\operatorname{LD}(u,v) \geq k$$k \in \mathbb{N}$$\operatorname{LD}(u,v)$$u$$v$$\Theta(|u|\cdot|v|)$$\operatorname{LD}$

Câu hỏi quan tâm là:

Cho một tập hợp gồm chuỗi trên có độ dài tối đa , giá trị của cardinality là bao nhiêu$S$$n$$\Sigma$$m$

$\qquad \displaystyle S_k := \{ w \in \Sigma^* \mid \exists v \in S.\ \operatorname{LD}(v,w) \leq k \}$ ?

Vì thậm chí hai chuỗi có cùng độ dài có số chuỗi -cold khác nhau², một công thức / cách tiếp cận chung có thể khó tìm (không thể?). Do đó, chúng tôi có thể phải tính toán số lượng rõ ràng cho mỗi cho , dẫn chúng tôi đến câu hỏi chính:$k$$S$

Độ phức tạp (thời gian) của việc tìm kiếm tính chính xác của tập hợp đối với (tùy ý) gì?$\{w\}_k$$w \in \Sigma^*$

Lưu ý rằng số lượng mong muốn là số mũ theo, vì vậy liệt kê rõ ràng là không mong muốn. Một thuật toán hiệu quả sẽ là tuyệt vời.$|w|$

Nếu có ích, có thể giả định rằng chúng ta thực sự có một chuỗi (lớn) , đó là chúng ta giải quyết câu hỏi được tô sáng đầu tiên.$S$

1. Các biến thể có thể bao gồm sử dụng khoảng cách Levenshtein thay thế.
2. Xét và . Các tập hợp chuỗi bao gồm là (8 từ) và (10 từ), tương ứng.$aa$$ab$$1$$\{a,b\}$$\{ a, aa,ab,ba,aaa,baa,aba,aab \}$$\{a,b,aa,bb,ab,ba,aab,bab,abb,aba\}$

Xem bài viết của Levenshtein . Nó chứa các giới hạn trên các chuỗi số thu được từ việc chèn và xóa một chuỗi. Nếu$n$ là độ dài của chuỗi và chuỗi là nhị phân, sau đó số lượng lân cận gần nhất trong khoảng cách Levenshtein là $\Theta(n^2)$. Thật khó để nói bất cứ điều gì về$k$- hàng xóm thấp nhất, nhưng người ta có thể bị giới hạn. Chúng sẽ cung cấp cho bạn một ước tính về sự phức tạp.

Nếu là của bạn $k$ đã được sửa và bạn được phép xử lý trước, đây là thứ bạn có thể thử

1. Xây dựng một biểu đồ sao cho các nút là các từ và một cạnh tồn tại giữa hai nút nếu khoảng cách giữa hai từ đó là 1.
2. Lấy ma trận kề tương ứng với biểu đồ đó (giả sử $M$)
3. Tính toán $M^k$

Bây giờ, bạn có thể sử dụng ma trận cuối cùng để trả lời tất cả các truy vấn. Nếu bạn có thể lưu trữ$M, M^2, M^4, M^8 \ldots$ vv Bạn có thể trả lời cho phạm vi lớn hơn của $k$ thay vì cố định $k$, tất nhiên người ta sẽ trả ở đây với chi phí nhân ma trận.