tập hợp con của tập đệ quy vô hạn

Một đề thi gần đây đã diễn ra như sau:

là một tập hợp đệ quy vô hạn. Chứng minh rằng có tập con đệ quy vô hạn. $A$ $A$

Hãy là một tập hợp con đệ quy vô hạn của . Phải có một tập hợp con đó là không đệ quy đếm được? $C$ $A$ $C$

Tôi đã trả lời 1. rồi. Về 2., tôi trả lời khẳng định và lập luận như sau.

Giả sử rằng tất cả các tập con của được liệt kê đệ quy. Vì là vô hạn, tập hợp sức mạnh của là không thể đếm được, do đó, theo giả định, sẽ có vô số tập hợp đệ quy vô số. Nhưng các bộ vô số đệ quy nằm trong sự tương ứng một-một với các máy Turing nhận ra chúng và các máy Turing là vô số. Mâu thuẫn. Vì vậy, phải có một tập hợp con không được liệt kê đệ quy. $C$ $C$ $C$ $C$

Điều này có đúng không?

computability check-my-proof

— người dùng1435
nguồn

Cuối cùng thì nó không hoàn toàn chính xác, bởi vì mỗi bộ lại được liệt kê bởi vô số máy Turing, không chỉ một. Bạn có thể làm việc xung quanh này, mặc dù.

— Carl Mummert

@Carl: Ah, đúng rồi, cảm ơn - sai lầm ngớ ngẩn. Nhưng tất cả những gì tôi cần là tiêm vào TM, không phải là một sự lựa chọn, phải không? Và theo định nghĩa của Turing-computable, lớp tôi đã làm việc với, mỗi TM được liên kết với một và chỉ một chức năng. Vì vậy, các bộ khác nhau -> các chức năng nhận dạng khác nhau -> các TM khác nhau tính toán chúng.

— dùng1435

! user1435: bạn đang đảo ngược mọi thứ trong câu cuối cùng. Mỗi máy Turing tính toán một chức năng duy nhất, nhưng mỗi chức năng tính toán được lấy từ vô số máy Turing.

— Carl Mummert

Nhưng nếu hàm f của tôi ánh xạ {các hàm nhận dạng r} thành {TMs} qua f (r) = bất kỳ một trong số rất nhiều TM tính toán nó, tôi có phải tiêm không? Hoặc tôi cho rằng tôi chỉ có thể phân vùng {TMs} theo mối quan hệ tương đương ~ xác định vô cực của các TM tính toán cùng hàm, sau đó ánh xạ r đến lớp tương đương thích hợp.

— dùng1435

Carl nói đúng, chúng không tương ứng một đối một, mỗi bộ ce tương ứng với vô số TM. Xem xét các nhóm đối tượng khác như bạn làm trong nhận xét của mình không thay đổi bất cứ điều gì, chúng không phải là tập hợp các TM.

— Kaveh

Đúng rồi.

$\aleph_0\leq C \implies \aleph_0 < 2^C$

$C$

$D = \{ i \in C \mid i \notin W_i \}$ $W_i$ $i$ $D \subseteq C$ $D$ $C$ $K = \{ i \mid i\notin W_i\}$ $C$ $D$

— Kaveh
nguồn

"Mỗi tập hợp vô hạn có một tập hợp con không thể giải quyết được." Điều này yếu hơn so với yêu cầu mà tôi đã cố gắng chứng minh. Tôi đã cố gắng chứng minh C phải có tập con không RE, không phải tập con không thể quyết định. Là yêu cầu của tôi vẫn đúng?

— dùng1435

Đúng. Thuật ngữ "không thể giải quyết được" là một chút quá tải (Wikipedia có một cuộc thảo luận tốt ). Vì vậy, câu trả lời này có thể có nghĩa là những gì bạn đang cố gắng để chứng minh.

— David Lewis

@ user1435, vâng, cùng một đối số hoạt động cho bất kỳ lớp ngôn ngữ có thể đếm được nào, tôi đã cập nhật câu hỏi để làm cho nó rõ ràng.

— Kaveh