Có vấn đề NP, không phải trong P và không hoàn thành NP?

Có bất kỳ vấn đề nào được biết đến trong (và không phải trong ) không hoàn thành không? Sự hiểu biết của tôi là không có vấn đề hiện được biết đến trong trường hợp này, nhưng nó đã không được loại trừ như là một khả năng. $\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

Nếu có một vấn đề là (chứ không phải ) nhưng không phải là , thì đây có phải là kết quả của sự không đồng hình hiện có giữa các trường hợp của vấn đề đó và bộ ? Nếu trong trường hợp này, làm thế nào chúng ta biết rằng vấn đề không 'khó' hơn những gì chúng ta hiện đang xác định là ?$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP\text{-}complete}$$\mathsf{NP\text{-}complete}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP\text{-}complete}$

Có bất kỳ vấn đề nào được biết đến trong NP (và không phải ở P) mà NP không hoàn thành không? Sự hiểu biết của tôi là không có vấn đề hiện được biết đến trong trường hợp này, nhưng nó đã không được loại trừ như là một khả năng.

Không, điều này là không xác định (ngoại trừ các ngôn ngữ tầm thường và , hai ngôn ngữ này không đầy đủ vì định nghĩa giảm nhiều một, thông thường hai ngôn ngữ này bị bỏ qua khi xem xét giảm nhiều một). Sự tồn tại của một vấn đề chưa hoàn thành đối với nhiều thời gian đa thức một hàm ý rằng không được biết đến (mặc dù được tin tưởng rộng rãi) . Nếu hai lớp khác nhau thì chúng ta biết rằng có vấn đề trong chưa hoàn thành, hãy xử lý mọi vấn đề trong .Σ * N P N P P ≠ N P N P $\emptyset$$\Sigma^*$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

Nếu có một vấn đề là NP (chứ không phải P) nhưng không phải NP Complete, thì đây có phải là kết quả của sự không đồng nhất hiện có giữa các trường hợp của vấn đề đó và bộ NP Complete không?

Nếu hai lớp phức tạp khác nhau thì theo định lý của Ladner, có những vấn đề là - tức thời, tức là chúng nằm giữa và .P N P - c o m p l e t $\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP\text{-}complete}$

Nếu trong trường hợp này, làm thế nào chúng ta biết rằng vấn đề NP không 'khó khăn' hơn những gì chúng ta hiện đang xác định là bộ NP Complete?

Chúng vẫn có thể giảm thời gian đa thức đối với các vấn đề vì vậy chúng không thể khó hơn các vấn đề .N P - c o m p l e t $\mathsf{NP\text{-}complete}$$\mathsf{NP\text{-}complete}$

Như @Kaveh tuyên bố, câu hỏi này chỉ là thú vị nếu chúng ta giả định ; phần còn lại của câu trả lời của tôi coi đây là một giả định, và chủ yếu cung cấp các liên kết để làm giảm sự thèm ăn của bạn. Theo giả định đó, theo định lý của Ladner, chúng ta biết rằng có những vấn đề không nằm trong P hay N P C ; những vấn đề này được gọi là N P -intermediate hoặc N P tôi . Thật thú vị, định lý của Ladner có thể được khái quát cho nhiều lớp phức tạp khác để tạo ra các vấn đề trung gian tương tự. Hơn nữa, định lý cũng ngụ ý rằng có một hệ thống phân cấp vô hạn$P \neq NP$$P$$NPC$$NP$$NPI$các vấn đề trung gian mà không phải là poly-thời gian rút gọn về nhau trong .$NPI$

Thật không may, ngay cả với giả định , rất khó tìm ra các vấn đề tự nhiên có thể chứng minh được N P I (tất nhiên bạn có các vấn đề nhân tạo đến từ bằng chứng của định lý Ladner). Do đó, ngay cả khi giả sử P ≠ N P tại thời điểm này, chúng ta chỉ có thể tin rằng một số vấn đề là N P I nhưng không chứng minh được. Chúng tôi có niềm tin như vậy khi chúng tôi có bằng chứng hợp lý để tin rằng một vấn đề N P không nằm ở N P C và / hoặc không ở $P \neq NP$$NPI$$P \neq NP$$NPI$$NP$$NPC$$P$; hoặc chỉ khi nó đã được nghiên cứu trong một thời gian dài và tránh phù hợp với một trong hai lớp. Có một danh sách khá đầy đủ các vấn đề như vậy trong câu trả lời này . Nó bao gồm các mục yêu thích mọi thời đại như bao thanh toán, nhật ký rời rạc và đẳng cấu đồ thị.

$BQP$$BQP$N P I B Q P$NPC \not\subseteq BQP$$NPI$$BQP$

Không NP vấn đề -complete được biết là trong P . Nếu có một thuật toán thời gian đa thức cho bất kỳ vấn đề NP -complete nào, thì P = NP , bởi vì bất kỳ vấn đề nào trong NP đều giảm thời gian đa thức cho từng vấn đề NP -complete. (Đó thực sự là cách xác định " NP -complete".) Và rõ ràng, nếu mọi vấn đề NP -complete nằm ngoài P , điều này có nghĩa là P ≠ NP . Chúng tôi không thực sự chắc chắn tại sao khó có thể chỉ ra cách này hay cách khác; nếu chúng ta biết câu trả lời cho câu hỏi đó, có lẽ chúng ta sẽ biết nhiều hơn về P vàNP . Chúng tôi có một vài kỹ thuật chứng minh mà chúng tôi biết là không hoạt động (ví dụ như thuyết tương đối hóa và bằng chứng tự nhiên), nhưng không có một lời giải thích nguyên tắc nào về lý do tại sao vấn đề này khó khăn.

Nếu có các vấn đề trong NP không thuộc P , thì thực sự có một hệ thống phân cấp vô hạn các vấn đề trong NP giữa những người trong P và những người hoàn thành NP : đây là kết quả được gọi là định lý Ladner .

Hi vọng điêu nay co ich!

Có một số vấn đề là NP, nhưng không ai biết chúng là NP-Complete hay , giống như biểu đồ đẳng cấu ¹ . Nhưng như tôi biết, không có lớp phức tạp đặc biệt nào cho những vấn đề như vậy, có thể tôi đã sai.$P$

Có thể là , ví dụ trước thuật toán AKS, không ai biết kiểm tra tính nguyên thủy là P hay NPC.$P$$P$

Ngoài ra, có một số vấn đề là NPC nhưng không có ý nghĩa mạnh hoặc NP-Complete yếu , như vấn đề 2-Phân vùng , có nghĩa là, nếu các số đầu vào theo thứ tự đa thức về kích thước đầu vào, vấn đề này có thể được giải quyết trong (hoặc có một thuật toán thời gian đa thức giả cho họ).$P$

¹ Vấn đề tương tự: đẳng cấu đồ thị phụ là NP-Complete theo nghĩa mạnh.