Bằng chứng ngắn gọn và lắt léo về định lý đối ngẫu mạnh mẽ cho lập trình tuyến tính

Hãy xem xét các chương trình tuyến tính

\begin{array}{ccc} P r i m a l : & A \vec{x} \leq \vec{b} & max {\vec{c}}^{T} \vec{x} \end{array}

$\begin{array}{|ccc|} \hline Primal: & A\vec{x} \leq \vec{b} \hspace{.5cm} & \max \vec{c}^T\vec{x} \\ \hline \end{array}$

\begin{array}{ccc} D u a l : & \vec{c} \leq {\vec{y}}^{T} A & min {\vec{y}}^{T} \vec{b} \end{array}

$\begin{array}{|ccc|} \hline Dual: & \vec{c} \leq \vec{y}^TA \hspace{.5cm} & \min \vec{y}^T\vec{b} \\ \hline \end{array}$

Định lý đối ngẫu yếu nói rằng nếu $\vec{x}$ và $\vec{y}$ thỏa mãn các ràng buộc thì $\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$ . Nó có một bằng chứng ngắn và khéo léo bằng cách sử dụng đại số tuyến tính: $\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T A \vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$ .

Định lý đối ngẫu mạnh nói rằng nếu $\vec{x}$ là một giải pháp tối ưu cho số nguyên tố thì có $\vec{y}$ là một giải pháp cho kép và $\vec{c}^T\vec{x} = \vec{y}^T\vec{b}$ .

Có một bằng chứng ngắn và lắt léo tương tự cho định lý đối ngẫu mạnh mẽ không?

— Kaveh
nguồn

Chương 4 của khóa học trực tuyến MIT web.mit.edu/15.053/www của Bradley, Hax và Magnanti đưa ra một bằng chứng ngắn gọn hợp lý dọc theo những dòng này. Đây có phải là những gì bạn đang tìm kiếm?

— cody

@cody, tốt, có vẻ như về cơ bản giống như trong CLRS. Nó có thể ổn nếu bạn có thể diễn đạt nó theo cách đại số tuyến tính trơn tru (tức là không tính tổng).

— Kaveh

Dường như những gì tôi muốn có lẽ là không thể. Farkas sử dụng độ kín của không gian, điều đó có nghĩa là có lẽ không có bằng chứng đại số tuyến tính thuần túy.

— Kaveh

Cố gắng tìm một thứ gì đó không quá cồng kềnh, để cho các học sinh của tôi thấy (vì vậy họ không cần phải có tính hai mặt mạnh mẽ về đức tin), và hầu hết những gì tôi gặp phải đều thuộc loại quá cồng kềnh. Chỉ cần tìm thấy một đối số trong các ghi chú từ một lớp của Dan Spielman, khá ngắn và có vẻ đơn giản. Không chắc chắn nếu nó che giấu một số phức tạp, hoặc nếu thiếu một cái gì đó? (Chưa kiểm tra kỹ đủ để nói, chưa.) Cs.yale.edu/homes/spielman/BAP/lect12.pdf

— Magnus Lie Hetland

À, tôi đoán một điểm trung tâm là cách giải thích hình học trong bài giảng trước, đưa chúng ta trở lại gia đình bằng chứng Simplex: cs.yale.edu/homes/spielman/BAP/lect11/lect11.pdf

— Magnus Lie Hetland

Chắc là không. Đây là một lập luận dựa trên khái niệm

Bổ đề Farkas : Chính xác một trong những lựa chọn thay thế sau đây có một giải pháp:

$Ax \le b$ và $x \ge 0$

$y^TA\ge 0$ và $y^Tb < 0$

Bây giờ hãy để là giá trị mục tiêu tối ưu của số nguyên tố. Đặt là tùy ý. Đặt là với hàng bổ sung là hàng cuối cùng. Đặt là với giá trị bổ sung làm giá trị cuối cùng. $\delta$ $\epsilon > 0$ $A'$ $A$ $-c^T$ $b'$ $b$ $-\delta - \epsilon$

Hệ thống không có giải pháp. Theo Farkas, có một sao cho: $A'x'\le b'$ $y' = (y,\alpha)$

$y^TA\ge \alpha c$ và . $y^Tb < \alpha (\delta + \epsilon)$

Lưu ý rằng nếu chúng ta sẽ ở trong một lựa chọn khác của Farkas. Do đó . $\epsilon = 0$ $\alpha > 0$

Chia tỷ lệ sao cho . là khả thi kép. Nhị nguyên yếu ngụ ý . $y'$ $\alpha = 1$ $y$ $\delta \le y^Tb < \delta + \epsilon$

— Louis
nguồn

Tôi nghĩ rằng đây là bằng chứng trong các bài giảng của Jeff Erickson . Tôi đang tìm kiếm thứ gì đó tránh được thứ epsilon (như đại số tuyến tính thuần túy).

— Kaveh

Những gì JeffE có là một chút khác biệt, và nó giải thích hình học nhiều hơn. Dù sao, bạn sẽ không tìm thấy những gì bạn muốn, theo nghĩa là khu vực khả thi là một khối đa diện, không phải là một không gian tuyến tính, do đó cuối cùng sẽ cần phải sử dụng điều đó. (Ở đây, nó đang được giấu trong Farkas. Cuốn sách của Gärtner và Matoušek là một tài liệu tham khảo thực sự tốt cho công cụ này. Tôi chắc chắn rằng bằng chứng này có ở đó.)

— Louis