Cực đại của các đường chéo trong một ma trận được sắp xếp theo hàng và khôn ngoan

Đặt và là các chuỗi không giảm của các số nguyên không âm.$\{a_i\}$$\{b_i\}$

Làm thế nào nhanh chóng có thể tìm thấy cho tất cả 0 \ leq j \ leq n-1 ?

Ngây thơ, phải mất $O(n^2)$ thời gian, nhưng tôi hy vọng sự đơn điệu có thể giúp đỡ ở đây.

Thật dễ dàng để quan sát $\{c_i\}$ cũng không giảm. Nếu chúng ta xem xét ma trận $M$ trong đó $M_{i,j} = a_i+b_j$ , thì đó là ma trận được sắp xếp theo cả hai hàng và hướng cột và chúng tôi đang tìm kiếm phần tử tối đa theo mọi đường chéo.

Tuy nhiên, nếu đó là một ma trận được sắp xếp theo hàng và cột tùy ý, thì vấn đề này đòi hỏi thời gian $\Omega(n^2)$ .

Chứng minh: Đặt tất cả các số bên dưới đường chéo chính là $\infty$ . Các phần tử trong đường chéo thứ $k$ là các số ngẫu nhiên từ $(k,k+1)$ . Đọc bất kỳ mục nào cung cấp không có thông tin cho bất kỳ mục khác.

Chỉnh sửa: Vấn đề này khó hơn nhiều so với tôi dự đoán. Chúng ta có thể mô hình hóa vấn đề này như một vấn đề tích chập trong nửa cung $(\min,+)$ (lấy số kép, tìm kiếm tối thiểu thay vì tối đa) và có thể giải quyết bằng $O(\frac{n^2}{\log n})$ thời gian theo câu trả lời của Ryan Williams trên mathoverflow . Nó không sử dụng thông tin rằng chuỗi không giảm mặc dù.

Câu hỏi tuyệt vời! "Biến đổi khoảng cách của các hàm được lấy mẫu", bởi Felzenzwalb và Huttenlocher chỉ ra cách tính toán này trong thời gian $O(n \lg n)$ .

"Dây chuyền, Convolutions và X + Y", bởi Bremner et al. hiển thị thuật toán cho vấn đề này trên RAM thực và Thuật toán trong mô hình cây quyết định tuyến tính không hình thành.$O\left(\frac{n^2}{\frac{\lg^2 n}{(\lg \lg n)^3}}\right)$$O(n \sqrt{n})$