Thuật toán ) cho bài toán K-clique

Vấn đề Clique là một vấn đề -complete nổi tiếng trong đó kích thước của cụm được yêu cầu là một phần của đầu vào. Tuy nhiên, bài toán k-clique có thuật toán thời gian đa thức tầm thường ( khi không đổi). Tôi quan tâm đến giới hạn trên được biết đến nhiều nhất khi k không đổi.O ( n k ) $NP$$O(n^k)$$k$

Có một thuật toán với thời gian chạy không? Một -time thuật toán cũng là chấp nhận được. Ngoài ra, có bất kỳ hậu quả lý thuyết phức tạp nào cho sự tồn tại của các thuật toán như vậy không?o ( n k$O(n^{k-1})$$o(n^k)$

Một cụm 3 có thể được tìm thấy trong đồ thị -vertex trong thời gian , trong đó là số mũ nhân ma trận và trong không gian bởi kết quả của Itai và Rodeh [1]. Về cơ bản, họ chỉ ra rằng chứa một tam giác khi và chỉ khi có một mục nhập khác không trên đường chéo chính của nó. Bởi vì một tam giác cũng là một chu kỳ , người ta có thể sử dụng các phương pháp tìm chu kỳ chung để phát hiện các tam giác. Alon, Yuster và Zwick chỉ ra cách phát hiện các hình tam giác trên biểu đồ -edge trong thời gian [6].G O ( n ω ) ω < 2.376 O ( n 2 ) G ( A ( G ) ) 3 C 3 m O ( m 2 ω / ( ω + 1 ) ) = O ( m 1.41$n$$G$$O(n^\omega)$$\omega < 2.376$$O(n^2)$$G$$(A(G))^3$$C_3$$m$$O(m^{2\omega/(\omega+1)}) = O(m^{1.41})$

Trong một thời gian dài, kết quả của Nesetril và Poljak [2] là nổi tiếng nhất; họ đã cho thấy số lượng các bản sao có kích thước có thể được tìm thấy trong không gian và . Cuối cùng, Eisenbrand và Grandoni [3] đã cải thiện kết quả của Nesetril và Poljak cho một -clique và một -clique cho các giá trị nhỏ của . Cụ thể, họ đã đưa ra các thuật toán để tìm các cụm có kích thước 4, 5 và 7 lần lượt là , và .$3k$$O(n^{\omega k})$$O(n^{2k})$$(3k+1)$$(3k+2)$$k$$O(n^{3.334})$$O(n^{4.220})$$O(n^{5.714})$

Theo tôi biết, đối với nói chung , vấn đề thiết kế các thuật toán tốt hơn là mở. Đối với các hậu quả có thể có hoặc các cân nhắc lý thuyết phức tạp, Downey và Fellows (xem ví dụ [4]) cho thấy -clique với tham số là -hard. Lớp biểu thị lớp các vấn đề quyết định được tham số hóa có thể rút gọn thành CLIQUE với các mức giảm tham số hóa. Người ta tin rằng CLIQUE không phải là tham số cố định. Có hàng trăm vấn đề khác được biết là tương đương với CLIQUE theo các mức giảm tham số. Hơn nữa, Feige và Kilian [5, Phần 2] có kết quả nói rằng khi là một phần của đầu vào và$k$$k$$k$$W[1]$$W[1]$$k$$k \approx \log n$, sau đó một thuật toán polytime không có khả năng tồn tại.

Nếu bạn xem xét một số lớp biểu đồ bị hạn chế, bạn có thể giải quyết vấn đề theo thời gian tuyến tính trên biểu đồ hợp âm. Đơn giản chỉ cần tính một cây clique của đồ thị hợp âm trong thời gian , sau đó kiểm tra xem có bất kỳ cụm nào có kích thước chính xác . Trên đồ thị phẳng, người ta cũng có thể tìm thấy các tam giác trong thời gian bằng các phương pháp của [6].$G$$O(n+m)$$k$$O(n)$

[1] Itai, Alon và Michael Rodeh. "Tìm một mạch tối thiểu trong đồ thị." Tạp chí SIAM về máy tính 7.4 (1978): 413-423.

[2] Nešetřil, Jar Tư và Svatopluk Poljak. "Về sự phức tạp của vấn đề đồ thị con." Bình luận Mathicalae Universitatis Carolinae 26.2 (1985): 415-419.

[3] Eisenbrand, Friedrich và Fabrizio Grandoni. "Về sự phức tạp của cụm tham số cố định và tập hợp thống trị." Khoa học máy tính lý thuyết 326.1 (2004): 57-67.

[4] Downey, RG và Michael R. Fellows. "Nguyên tắc cơ bản của độ phức tạp tham số." Hủy bỏ các văn bản trong khoa học máy tính, Springer-Verlag (2012).

[5] Feige, Uriel và Kilian, Joe. "On Limited so với Polynomial Nondeterminism". Tạp chí khoa học máy tính lý thuyết Chicago. (1997)

[6] Alon, Noga, Raphael Yuster và Uri Zwick. "Tìm và đếm chu kỳ chiều dài cho trước." Thuật toán 17.3 (1997): 209-223.