Có một TM tạm dừng trên tất cả các đầu vào nhưng tài sản đó là không thể chứng minh?

17

Có tồn tại một máy Turing tạm dừng trên tất cả các đầu vào nhưng thuộc tính đó không thể chứng minh được vì một số lý do?

Tôi tự hỏi nếu câu hỏi này đã được nghiên cứu. Lưu ý, "không thể chứng minh" có thể có nghĩa là một hệ thống bằng chứng "có giới hạn" (theo nghĩa yếu là câu trả lời phải có). Tất nhiên tôi quan tâm đến câu trả lời mạnh nhất có thể, tức là câu trả lời không thể chứng minh được là dừng lại trên tất cả các yếu tố đầu vào trong lý thuyết tập hợp ZFC hay bất cứ điều gì.

Nó xảy ra với tôi điều này có thể đúng với chức năng Ackermann nhưng tôi mơ hồ về các chi tiết. Dường như Wikipedia mô tả khía cạnh này rõ ràng.

— vzn
nguồn

3

Số học Peano là đủ để chứng minh rằng chức năng của Ackermann là toàn bộ: đây là bài tập 17 trong phần Giới thiệu về ghi chú PA của Jaap van Oosten .

— David Richerby

tổng số tính toán fn defn wikipedia. lưu ý câu hỏi này được thúc đẩy một phần bằng cách xem xét collatz fn , nơi đây là một câu hỏi mở dài có liên quan ...

— vzn

2

Đây là một nhận xét ngớ ngẩn, nhưng lưu ý rằng đối với mọi máy Turing M chấm dứt trên tất cả đầu vào, lý thuyết

là một lý thuyết nhất quán. Nhưng sử dụng định lý Gödels, chúng ta có thể chỉ ra rằng không có lý thuyết đệ quy duy nhất nào có thể chứng minh sự chấm dứt của tất cả các máy như vậy.

P A + " M terminates on all input"

$\mathrm{PA}+\mbox{"$M$ terminates on all input"}$

— cody

12

Đúng. Máy Turing tính toán chuỗi Goodstein bắt đầu từ đầu vào của nó và kết thúc khi chuỗi này về 0. Nó luôn chấm dứt nhưng điều này không thể được chứng minh trong số học Peano. Tôi chắc chắn có những thứ tương đương cho ZFC hoặc bất kỳ hệ thống nào khác mà bạn có thể chọn.

Chỉnh sửa Đối với ZF, Hartmanis và Hopcroft cho thấy rằng có một máy Turing từ chối mọi đầu vào nhưng điều này không thể được chứng minh trong ZF. Tôi không chắc liệu ZF có thể chứng minh rằng luôn dừng hay không nhưng chắc chắn không thể chứng minh rằng máy "Nếu chấp nhận thì lặp lại mãi mãi, nếu không thì dừng lại", mặc dù vậy. Điều đó vẫn để ZFC mở nhưng ZF mạnh hơn PA. $M$ $M$ $M'(x)$ $=$ $M$ $x$

Xem phần. 3 trong cuộc khảo sát của Scott Aaronson về tính độc lập của P = NP cho việc trình bày kết quả và trích dẫn của HartmanisTHER Hopcroft cho các bài báo gốc của họ.

— David Richerby
nguồn

Về việc thêm các tiên đề lựa chọn: ZFC không thể làm tốt hơn so với ZF cho "đơn giản" những câu như một vấn đề ngăn chặn (trong trường hợp này

nếu tôi không nhầm). Điều này là do ZF và ZFC chứng minh chính xác các câu lệnh

giống nhau .

Π_{2}^{0}

$\Pi^0_2$

Π_{2}^{0}

$\Pi^0_2$

— cody

6

Lấy một lý thuyết ít nhất mạnh bằng số học "cơ bản" và có thể liệt kê đệ quy (có thể liệt kê mọi định lý của ). ${\cal T}$ ${\cal T}$

Xây dựng máy , hoạt động như sau trên đầu vào : $M$ $n$

If there is no proof of 0 = 1 in less than n steps in T, ACCEPT
Otherwise, LOOP.

Thật dễ dàng để hiển thị bằng cách sử dụng định lý không hoàn chỉnh thứ hai mà không thể chứng minh rằng chấm dứt trên tất cả các đầu vào (nếu nó phù hợp). ${\cal T}$ $M$

Điều này tất nhiên hoạt động cho , , , ... miễn là chúng phù hợp. ${\cal T}=\mathrm{ZFC}$ ${\cal T}=\mathrm{PA}$ ${\cal T}=\mathrm{PA²}$

— cody
nguồn

5

$N$

— Daniil
nguồn