Bơm bổ đề cho các ngôn ngữ thông thường hữu hạn đơn giản

Wikipedia có định nghĩa sau đây về bổ đề bơm đối với các ngôn ngữ thông thường ...

Hãy để là một ngôn ngữ thông thường. Sau đó, tồn tại một số nguyên 1 chỉ phụ thuộc vào sao cho mọi chuỗi trong có độ dài ít nhất ( được gọi là "chiều dài bơm") có thể được viết là = (nghĩa là w có thể được chia thành ba chất nền), thỏa mãn các điều kiện sau:$L$$p$$L$$w$$L$$p$$p$$w$$xyz$$w$

1. | $y$ | ≥ 1
2. | $xy$ | ≤ $p$
3. cho tất cả $i$ ≥ 0, $xy^iz$ ∈ $L$

Tôi không thấy làm thế nào điều này được thỏa mãn cho một ngôn ngữ thông thường hữu hạn đơn giản. Nếu tôi có một bảng chữ cái của { $a,b$ } và biểu thức chính quy $ab$ sau đó $L$ bao gồm chỉ là một từ được $a$ tiếp theo $b$ . Bây giờ tôi muốn xem liệu ngôn ngữ thông thường của tôi có thỏa mãn bổ đề bơm không ...

Vì không có gì lặp lại trong biểu thức chính quy của tôi, giá trị của $y$ phải trống để điều kiện 3 được bão hòa cho tất cả $i$ . Nhưng nếu vậy thì nó không thành công điều kiện 1 mà nói $y$ phải dài ít nhất 1!

Nếu thay vào đó tôi để $y$ là $a$ , $b$ hoặc $ab$ thì nó sẽ thỏa mãn điều kiện 1 nhưng không thành công điều kiện 3 vì nó không bao giờ thực sự lặp lại.

Tôi rõ ràng đang thiếu một cái gì đó tâm trí rõ ràng. Đó là cái gì

Bạn đã đúng - chúng tôi không thể cho phép "bơm" các từ L hữu hạn $L$. Điều bạn đang thiếu là bổ đề nói rằng tồn tại một số $p$ , nhưng không cho chúng ta biết số đó.

Tất cả các từ dài hơn có thể được bơm, bởi bổ đề. Đối với một hữu hạn , nó sẽ xảy ra để lớn hơn chiều dài của từ dài nhất trong . Do đó, bổ đề chỉ giữ trống và không thể áp dụng cho bất kỳ từ nào trong , nghĩa là, bất kỳ từ nào trong không thỏa mãn điều kiện "có độ dài ít nhất " như bổ đề yêu cầu.L p L L L $p$$L$$p$$L$$L$$L$$p$

Một hệ quả: nếu có chiều dài bơm và tồn tại một số từ có độ dài ít nhất là , thì là vô hạn.p w ∈ L p $L$$p$$w\in L$$p$$L$

Bổ đề thường được sử dụng trên các ngôn ngữ vô hạn, tức là các ngôn ngữ có chứa số lượng từ vô hạn. Đối với bất kỳ ngôn ngữ hữu hạn , vì DFA luôn có thể được chấp nhận với số lượng trạng thái hữu hạn, phải đều đặn.$L$$L$

Theo wikipedia ( http://en.wikipedia.org/wiki/Pumping_lemma_for_THER_lacular#F normal_statement ), bơm bổ đề nói: $\begin{array}{l} (\forall L\subseteq \Sigma^*) \\ \quad (\mbox{regular}(L) \Rightarrow \\ \quad ((\exists p\geq 1) ( (\forall w\in L) ((|w|\geq p) \Rightarrow \\ \quad\quad ((\exists x,y,z \in \Sigma^*) (w=xyz \land (|y|\geq 1 \land |xy|\leq p \land (\forall i\geq 0)(xy^iz\in L)))))))) \end{array}$

Đối với bất kỳ ngôn ngữ hữu hạn , hãy để là độ dài tối đa của các từ trong và để trong việc bơm bổ đề là . Bổ đề bơm giữ vì không có từ nào trong có độ dài .l m a x L p l m a x + 1 L ≥ l m a x + $L$$l_{max}$$L$$p$$l_{max}+1$$L$$\geq l_{max}+1$

Một cách để chính thức hóa phần cốt lõi của bổ đề Bơm là cách này, sử dụng :$L^{\geq k} = \{ w \in L \mid |w| \geq k\}$

Nếu là chính quy, tồn tại đểp ∈ $L$$p \in \mathbb{N}$

$\qquad \displaystyle \forall w \in L^{\geq p}.\ \exists x,y,z \dots$ (*).

Đối với tất cả hữu hạn và , rõ ràng chúng ta có . Do đó (*) là (trống rỗng) đúng với .$L$$p > \max \{ |w| \mid w \in L\}$$L^{\geq p} = \emptyset$$p$