Làm thế nào để chứng minh rằng phiên bản 3SAT bị ràng buộc trong đó không có nghĩa đen nào có thể xảy ra nhiều hơn một lần, có thể giải quyết được trong thời gian đa thức?

Tôi đang cố gắng thực hiện một bài tập (lấy từ cuốn sách Thuật toán - của S. Dasgupta, CH Papadimitriou, và UV Vazirani , Chap 8, vấn đề 8.6a), và tôi đang diễn giải những gì nó nói:

Cho rằng 3SAT vẫn hoàn thành NP ngay cả khi bị giới hạn ở các công thức trong đó mỗi chữ xuất hiện nhiều nhất hai lần, cho thấy rằng nếu mỗi chữ xuất hiện nhiều nhất một lần, thì vấn đề có thể giải quyết được trong thời gian đa thức.

Tôi đã cố gắng giải quyết điều này bằng cách tách các mệnh đề thành nhiều nhóm:

1. Các khoản không có bất kỳ biến nào chung với các mệnh đề còn lại
2. Các khoản chỉ có 1 biến chung
3. Các khoản có 2 biến chung
4. Các khoản có tất cả 3 biến chung

Lý luận của tôi đã cố gắng theo dòng rằng # của các nhóm như vậy là hữu hạn (do hạn chế áp đặt không có nghĩa đen là có mặt nhiều lần) và chúng tôi có thể cố gắng đáp ứng nhóm bị hạn chế nhất trước tiên (nhóm 4) và sau đó thay thế dẫn đến các nhóm bị hạn chế ít hơn (3, 2 và sau đó 1), nhưng tôi nhận ra rằng điều này không hoàn toàn đưa tôi đến bất cứ nơi nào, vì điều này không khác nhiều so với phiên bản 3SAT bị ràng buộc trong đó mỗi chữ có thể xuất hiện nhiều nhất là hai lần, đã được chứng minh là hoàn thành NP.

Tôi đã thử tìm kiếm trực tuyến bất kỳ gợi ý / giải pháp nào, nhưng tất cả những gì tôi có thể nhận được là liên kết này , trong đó gợi ý đã nêu không đủ ý nghĩa với tôi, mà tôi đang sao chép nguyên văn ở đây:

$x_i$$C_j$$x_i$$\overline{x_i}$$C_k$$C_j \lor \overline{C_k}$

$C_j$$C_k$$C_j \lor \overline{C_k}$$\overline{C_j \lor C_k}$

Bất kỳ trợ giúp nào trong việc giải mã gợi ý, hoặc cung cấp một con đường tôi có thể khám phá sẽ thực sự được đánh giá cao.

Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng mỗi biến xuất hiện chính xác một lần tích cực và chính xác một lần phủ định (nếu một biến chỉ xuất hiện một lần đặt giá trị của nó để thỏa mãn mệnh đề và loại bỏ mệnh đề). Chúng ta cũng có thể giả sử rằng một biến không xuất hiện trong mệnh đề nhiều hơn một lần (nếu một biến xuất hiện cả tích cực và tiêu cực trong một mệnh đề, thì mệnh đề đó được thỏa mãn và có thể được loại bỏ). Những điều này sẽ không làm thay đổi sự thỏa mãn.

Bây giờ sử dụng quy tắc phân giải để loại bỏ từng biến một (vì mỗi biến xuất hiện chính xác một lần tích cực và một lần phủ định, đây là một quá trình xác định). Nếu tại bất kỳ thời điểm nào, chúng ta có được mệnh đề trống thì tập hợp các mệnh đề là không thỏa mãn, nếu không thì nó là thỏa đáng. Điều này là do:

• độ phân giải là một hệ thống chứng minh mệnh đề hoàn chỉnh (nghĩa là nếu một mệnh đề được hàm ý một cách hợp lý bởi tập hợp các mệnh đề thì nó có thể lấy được từ tập các mệnh đề chỉ sử dụng quy tắc phân giải),

• một tập hợp các mệnh đề không thỏa mãn nếu nó hàm ý một cách hợp lý mệnh đề trống.

$(x \lor B) \land (\overline{x} \lor C) \land \dots)$$(B \lor C) \land \dots$, trong đó có một điều khoản ít hơn trước khi giải quyết. Ngược lại, nếu bạn áp dụng điều này cho công thức 3SAT mà không hạn chế số lần xuất hiện của mỗi nghĩa đen, việc áp dụng độ phân giải có thể khiến số mệnh đề tăng theo cấp số nhân.