Quy tắc ngón tay cái để biết nếu một vấn đề có thể được hoàn thành NP

Câu hỏi này được lấy cảm hứng từ một bình luận trên StackOverflow .

Ngoài việc biết các vấn đề NP-đầy đủ của cuốn sách Garey Johnson, và nhiều vấn đề khác; Có một quy tắc nào để biết liệu một vấn đề có giống NP-hoàn chỉnh không?

Tôi không tìm kiếm một cái gì đó nghiêm ngặt, nhưng với một cái gì đó hoạt động trong hầu hết các trường hợp.

Tất nhiên, mỗi khi chúng ta phải chứng minh rằng một vấn đề là NP-perfect, hoặc một biến thể nhỏ của NP-perfect; nhưng trước khi vội vàng đưa ra bằng chứng, sẽ rất tuyệt nếu có niềm tin nhất định vào kết quả tích cực của bằng chứng.

Đây là cách tiếp cận cá nhân của tôi để xác định xem một vấn đề (tức là ngôn ngữ $L$ ) có hoàn chỉnh NP hay không. Nếu cả hai điều kiện này được xác minh:

• Tôi cảm thấy việc kiểm tra nếu một ví dụ $I$ ở $L$ ngụ ý rằng tôi cần kiểm tra tất cả các kết hợp của một số loại
• và rằng không có cách nào để chia một sự kết hợp như vậy thành hai kết hợp nhỏ hơn

sau đó rất có thể là NP-hard.$L$

Ví dụ cho bài toán tổng con , tôi phải liệt kê tất cả các tập con của và kiểm tra xem có tập nào có tổng bằng không. Tôi có thể chia thành hai tập con nhỏ hơn và mà tôi sẽ kiểm tra một thuộc tính tương tự không? Humm ... không thực sự. Có thể nếu tôi đã kiểm tra tất cả sự kết hợp của và nhưng điều đó sẽ thực sự dài ...$S$$S$$S_1$$S_2$$S_1$$S_2$

Thông thường khả năng chia thành các mảnh nhỏ hơn là một chỉ báo tốt cho một vấn đề xảy ra ở P. Đây là cách tiếp cận phân chia và chinh phục . Ví dụ để tìm ra con đường ngắn nhất giữa hai điểm, bạn có thể sử dụng tài sản đó nếu con đường đi ngắn nhất từ đến đi qua thì nó không còn là so với con đường ngắn nhất từ đến cộng với đi ngắn nhất từ đến .$A$$C$$B$$A$$B$$B$$C$

Thẳng thắn mà nói cách tiếp cận này rất cơ bản: Tôi cố gắng tìm một thuật toán (đa thức) cho bài toán đã cho. Nếu tôi không thể tìm thấy thì vấn đề sẽ trở nên "khó khăn" theo quan điểm của tôi. Sau đó là tất cả các lý do về tính đầy đủ của NP: tôi có thể mã hóa một vấn đề hoàn thành NP hiện có sang vấn đề này không? (Và vì việc này thường khó hơn nhiều, tôi thử một lần nữa để tìm thuật toán đa thức ..)

Tôi nghi ngờ rằng đây là cách nghĩ thông thường. Tuy nhiên, vẫn còn khá khó để áp dụng cho các vấn đề chưa biết. Cá nhân tôi nhớ rằng đã bị bất ngờ bởi một trong những ví dụ đầu tiên về tính đầy đủ của NP mà tôi đã nói: vấn đề phân thân . Có vẻ như rất đơn giản để kiểm tra! Vì vậy, tôi cho rằng kinh nghiệm đó có liên quan nhiều đến nó. Ngoài ra trực giác đôi khi có thể vô dụng. Tôi nhớ đã được nói nhiều lần hai vấn đề gần như giống hệt nhau nhưng một vấn đề ở P và một vấn đề khác với NP là hoàn thành.

Tôi vẫn chưa tìm thấy một ví dụ tốt (tôi cần trợ giúp ở đây), nhưng đây giống như vấn đề tương ứng bài : đây là một vấn đề không thể giải quyết được nhưng một số biến thể có thể quyết định được.

Một góc nhìn khác về độ cứng của vấn đề xuất phát từ cộng đồng trò chơi và câu đố, trong đó nguyên tắc chung là "các vấn đề khó nhất có thể" (và các trường hợp ngoại lệ đến từ các cấu trúc ẩn trong vấn đề - ví dụ của Massimo về yếu tố quyết định trong ý kiến ​​là một ví dụ tốt về điều này); Bí quyết sau đó hiểu được mức độ khó của một vấn đề:

• Các câu đố liên quan đến sự tồn tại của cấu hình tĩnh nằm trong NP, và do đó chúng có xu hướng hoàn thành NP; chẳng hạn, bài toán đóng gói polyomino (một tập hợp polyominos đã cho có thể đóng gói một hình chữ nhật cho diện tích thích hợp không?) có thể hoàn thành NP.$n$
• Các câu đố liên quan đến chuỗi di chuyển trong không gian trạng thái giới hạn nằm trong PSPACE (vì 'cây di chuyển' thường có thể được khám phá theo chiều sâu tiêu chuẩn - trước tiên chỉ cần lưu trữ cho số lượng cấu hình đa thức) và có xu hướng hoàn thành PSPACE; một ví dụ kinh điển về điều này là Rush Hour.
• Các trò chơi có độ sâu giới hạn đa thức cũng nằm trong PSPACE; cái này sử dụng đặc tính của PSPACE là APTIME, vì đặc tính chiến lược tối thiểu thông thường bắt chước hoàn hảo một máy Turing xen kẽ với đặc tính của nó là 'tồn tại một động thái cho người chơi A sao cho mỗi lần trả lời di chuyển từ người chơi B, tồn tại một câu trả lời di chuyển cho người chơi A sao cho ... ', v.v. Họ cũng có xu hướng hoàn thành PSPACE; Hex và các trò chơi Tic-Tac-Toe tổng quát là cả hai ví dụ về điều này.
• Các trò chơi không bị ràng buộc về độ sâu của cây nhưng được chơi trong không gian giới hạn (đa thức) nằm trong EXPTIME, vì có nhiều tổng số vị trí và toàn bộ biểu đồ có thể được xây dựng và khám phá theo đa thức thời gian về số lượng vị trí (và do đó theo cấp số mũ) ; những trò chơi này thường hoàn thành EXPTIME. Cờ vua, Cờ đam và cờ vây đều thuộc loại này.