Phân vùng một ngôn ngữ thông thường vô hạn thành 2 ngôn ngữ thông thường vô hạn

Với bất kỳ ngôn ngữ thông thường vô hạn $L$ nào, làm thế nào tôi có thể chứng minh rằng $L$ có thể được phân chia thành 2 ngôn ngữ thông thường vô hạn ? Đó là: , và và đều vô hạn và đều đặn.L 1 ∪ L 2 = L L 1 ∩ L 2 = ∅ L 1 L $L_1, L_2$$L_1 \cup L_2 = L$$L_1 \cap L_2 = \varnothing$$L_1$$L_2$

Cho đến nay, tôi nghĩ về:

1. sử dụng bổ đề bơm sao cho nhưng không thể chứng minh rằng chúng là dijoint hoặc bao trùm hoàn toàn

   $$\begin{gather} L_1 &= \{ xy^nz \mid \text{\(n\) is even} \} \\ L_2 &= \{ xy^mz \mid \text{\(m\) is odd} \} \\ \end{gather}$$ $L$

2. Sử dụng các phân vùng ngôn ngữ thông thường vào các lớp tương đương dijoint, nhưng tôi chưa tìm ra cách xác định xem một lớp tương đương là thường xuyên hay vô hạn.$\Sigma^*$

Đặt . Định lý của Parikh cho thấy S là tập hợp định kỳ. Hãy để thời gian cuối cùng được ℓ . Kể từ khi L là vô hạn, có một số bù đắp một ví dụ rằng một + k ℓ ∈ S cho tất cả k ≥ 0 . Do đó, ngôn ngữ là vô hạn (nó chứa tất cả các từ có độ dài cho một số$S = \{ |w| : w \in L \}$$S$$\ell$$L$$a$$a + k\ell \in S$$k \geq 0$a + 2 k ℓ k ≥ 0 L 2 = L ∖ L 1 a + ( 2 k + 1 ) ℓ k ≥ 0 L 1 , L $L_1 = \{ w \in L : |w| \equiv a \pmod{2\ell} \}$$a + 2k\ell$$k \geq 0$) và ngôn ngữ cũng là vô hạn (nó chứa tất cả các từ có độ dài cho một số , cũng như các từ khác). Tôi sẽ cho bạn thấy rằng đều đều.$L_2 = L \setminus L_1$$a + (2k+1)\ell$$k \geq 0$$L_1,L_2$

Mỗi ngôn ngữ thông thường được chấp nhận bởi một số DFA tối thiểu. Đối với ngôn ngữ thông thường vô hạn , hãy gọi DFA như vậy . Xem xét bất kỳ trạng thái có thể được truy cập nhiều hơn một lần trong khi chế biến một số chuỗi trong . Nếu có thể được truy cập nhiều lần, nó có thể được truy cập bất kỳ số lần nào. Xác định và được DFA chấp nhận và phải đến tiểu bang một số lần (có thể bằng không). Nhà nước có thể được truy cập không giới hạn số lần; do đó, chúng tôi biết rằng có vô số chuỗi trong$L$$M_L$$q$$L$$q$

$$L_1 = \{w \in L \mid q\text{ is visited an odd number of times}\}$$ $$L_0 = \{w \in L \mid q\text{ is visited an even number of times}\}$$ Đây là một DFA, vì vậy chỉ có một con đường. Bất kỳ chuỗi trong$L$$L_1$ (vì có những từ khiến trạng thái được truy cập 1 lần, 3 lần, v.v.) và rằng có vô số chuỗi trong (vì có những từ gây ra trạng thái được truy cập 0 lần, 2 lần, v.v.). Bất kỳ chuỗi đã cho nào đều ở hoặc và không thể ở cả hai, vì vậy . Tuy nhiên, bất kỳ từ nào trong là đảm bảo được một trong hai bộ này, vì vậy .$L_0$$L_1$$L_0$$L_0 \cap L_1 = \emptyset$$L$$L_0 \cup L_1 = L$