Giao lộ bối cảnh miễn phí với các ngôn ngữ thông thường

Giao điểm của ngôn ngữ tự do ngữ cảnh L với ngôn ngữ thông thường M, được cho là luôn luôn không có ngữ cảnh. Tôi hiểu bằng chứng xây dựng sản phẩm chéo, nhưng tôi vẫn không hiểu tại sao nó không có ngữ cảnh nhưng không thường xuyên.

Ngôn ngữ được tạo bởi một giao lộ như vậy có các chuỗi được chấp nhận bởi cả PDA và DFA. Vì nó được DFA chấp nhận, nên nó không phải là ngôn ngữ thông thường? Thêm vào đó, nếu giao lộ là thường xuyên, nó cũng bao hàm ngữ cảnh miễn phí, vì tất cả các ngôn ngữ thông thường cũng không có ngữ cảnh.

Ai đó có thể giải thích cho tôi tại sao ngôn ngữ thu được từ giao lộ như vậy không thường xuyên không?

Nếu có ngữ cảnh thì sẽ có một PDA P chấp nhận nó. Nếu M là thường xuyên thì có một DFA F chấp nhận nó. Ngôn ngữ giao nhau bao gồm các từ được P và F nhận ra .$L$$\mathscr{P}$$M$$\mathscr{F}$$\mathscr{P}$$\mathscr{F}$

Bất kỳ từ nào trong giao lộ đều được chấp nhận , nhưng không phải tất cả các từ được F chấp nhận đều nằm trong giao lộ: chỉ những từ cũng được P chấp nhận .$\mathscr{F}$$\mathscr{F}$$\mathscr{P}$

Bằng chứng sản phẩm chéo bao gồm xây dựng một máy tự động có chứa các cơ chế của cả P và F và chỉ chấp nhận các từ mà cả hai bên chấp nhận. Máy tự động sản phẩm chéo là một thiết bị PDA (và do đó, ngôn ngữ được công nhận là không có ngữ cảnh) - theo trực giác, bởi vì sản phẩm chéo có DFA n -state bao gồm lấy n bản sao của P và thêm ( q , a , [ q ] ) mũi tên giữa các quốc gia tương ứng trong P nơi DFA có $\mathscr{P} \otimes \mathscr{F}$$\mathscr{P}$$\mathscr{F}$$n$$n$$\mathscr{P}$$(q,a,[q])$$\mathscr{P}$$a$mũi tên. Kết quả không phải là một máy tự động hữu hạn nói chung (thậm chí không phải là không xác định) vì phần phụ thuộc vào ngăn xếp và sự phụ thuộc này không biến mất trong P ⊗ F nói chung.$\mathscr{P}$$\mathscr{P} \otimes \mathscr{F}$

Một ví dụ nhỏ là là thường xuyên, và nếu L là bối cảnh tự do nhưng không thường xuyên thì L ∩ A * = L là bối cảnh tự do nhưng không thường xuyên.$\mathscr{A}^*$$L$$L \cap \mathscr{A}^* = L$