Sự tương đương của bộ độc lập và bộ đóng gói

Theo Wikipedia, sự cố Bộ độc lập là trường hợp đặc biệt của sự cố Đặt gói . Nhưng, dường như với tôi rằng những vấn đề này là tương đương.

Các độc lập Set vấn đề tìm kiếm được: cung cấp một đồ thị và một số nguyên , tìm đỉnh không có hai trong số đó là liền kề.$G(V,E)$$n$$n$

Các Set Đóng gói vấn đề tìm kiếm được: cung cấp một bộ sưu tập hữu hạn của tập hữu hạn và một số nguyên , tìm bộ có cặp rời nhau.$C$$n$$n$

Tôi nghĩ rằng chúng là tương đương dựa trên việc giảm hai chiều sau đây:

→: Đưa ra một vấn đề tập hợp độc lập trên đồ thị , tạo một tập hợp của các tập hợp, trong đó với mỗi đỉnh có một tập hợp chứa tất cả các cạnh liền kề với . Bây giờ, mọi tập hợp đóng gói trong tương ứng với một tập hợp các đỉnh không có hai đỉnh nào có cạnh chung, nghĩa là đây là một tập độc lập trong có cùng kích thước.$G(V,E)$$C$$v \in V$$S_v \in C$$v$$C$$G$

←: Đưa ra một vấn đề đóng gói đã đặt trên bộ sưu tập , tạo một đồ thị trong đó với mỗi bộ có một đỉnh và có một cạnh giữa và nếu các bộ và giao nhau. Bây giờ, mọi đỉnh độc lập được đặt trong tương ứng với một tập hợp từ không có hai trong số đó giao nhau, nghĩa là đây là một tập hợp đóng gói trong có cùng kích thước.$C$$G(V,E)$$S \in C$$v_S \in V$$v_{S_1}$$v_{S_2}$$S_1$$S_2$$G$$C$$C$

Câu hỏi của tôi là: giảm của tôi có đúng không? Nếu vậy, những vấn đề này là tương đương? Có thể sử dụng các thuật toán gần đúng cho một vấn đề cho vấn đề khác không?

Ý nghĩa chính xác của "tương đương" không rõ ràng nhưng bạn đã chỉ ra điều gì đó sâu sắc hơn mức tương đương thông thường theo các mức giảm được xem xét cho các vấn đề hoàn thành NP.

Bạn đã chứng minh những gì được gọi là giảm đáng kể giữa hai vấn đề. Thông thường, các mức giảm giữa các vấn đề hoàn thành NP là nhiều mức giảm một: chúng chỉ có thuộc tính mà vấn đề A có giải pháp nếu và chỉ khi vấn đề B có giải pháp. Ví dụ: khi bạn giảm 3SAT xuống 3-Colourability, bạn tạo ra một biểu đồ  có khả năng 3 màu nếu và chỉ khi, công thức ban đầu  là thỏa đáng. Tuy nhiên, nếu  có  biến, số lượng bài tập thỏa mãn có thể là bất kỳ giá trị nào giữa 0 và  , trong khi số lượng 3 màu của bất kỳ đồ thị nào là bội số của sáu vì hoán vị của tập hợp màu.φ φ N 2 $G$$\varphi$$\varphi$$N$$2^N$

Điểm quan trọng về việc giảm đáng kể là chúng là một đối một. Việc giảm của bạn thiết lập một sự lựa chọn giữa các giải pháp cho vấn đề tập độc lập và các giải pháp cho vấn đề đóng gói tập hợp tương ứng. Giảm phân tích rất hữu ích vì chúng bảo tồn tối ưu hóa và (tính gần đúng) các phiên bản của vấn đề. Vì vậy, mức giảm của bạn cũng cho thấy rằng vấn đề tìm bộ độc lập lớn nhất cũng khó như tìm gói đóng gói bằng cách sử dụng hầu hết các bộ và vấn đề đếm tất cả các bộ độc lập cũng khó như đếm tất cả các gói.

Có một lớp giảm rộng hơn cũng bảo toàn việc đếm và tính gần đúng. Đây là các mức giảm bảo toàn gần đúng của Dyer et al.  [1]. Đây là những sự giảm thiểu tiên tri và làm giảm yêu cầu một đối một của việc giảm thiểu triệt để đối với cái mà về cơ bản là "Nếu bạn biết (một xấp xỉ) một, bạn có thể dễ dàng tính toán (một xấp xỉ) cái khác". Đặc biệt, giảm AP có thể dễ dàng đối phó với yếu tố đó là cố hữu trong bất kỳ giảm bớt cho vấn đề màu. Như tên cho thấy, giảm AP bảo tồn tính gần đúng, theo nghĩa là, nếu có giảm AP từ A xuống B và có FPRAS cho B, thì cũng có FPRAS cho A.$q!$$q$

[1] Dyer, Goldberg, Greeoping, Jerrum. Sự phức tạp tương đối của các vấn đề đếm gần đúng. Thuật toán 38 (3): 471 bóng500, 2003. DOI ; PDF miễn phí

Cả hai vấn đề đều là NP-đầy đủ, vì vậy ngay cả khi không kiểm tra mức giảm của bạn, chúng vẫn tương đương theo nghĩa đó.

Tuy nhiên, giảm của bạn có vẻ ổn. Về mặt kỹ thuật cho các kết quả gần đúng mà bạn muốn xác minh một số thuộc tính bổ sung của việc giảm (không nhất thiết phải khó thực hiện, ví dụ trong trường hợp này, việc giảm PTAS rất đáng quan tâm). Bạn cũng phải nói về các phiên bản tối ưu hóa của các vấn đề, thay vì các phiên bản quyết định (nghĩa là yêu cầu câu trả lời tối đa / tối thiểu, thay vì sự tồn tại của một kích thước nhất định hoặc nhiều hơn / ít hơn).

Trong thực tế, người ta đã biết rằng họ có sự gần đúng liên quan. Thật không may, họ thường không có xấp xỉ tốt. Đối với cả hai vấn đề (và Maximum Clique, cũng liên quan chặt chẽ) đều có kết quả không thể gần đúng, nguyên nhân không chính xác với cho bất kỳ (trừ khi NP = ZPP), đó là về xấu như nó được. ε > $|V|^{1-\varepsilon}$$\varepsilon > 0$

Nếu bạn đang xem các lớp biểu đồ bị hạn chế, bạn có thể tìm thấy thứ gì đó thú vị. Để đọc thêm, tôi giới thiệu cho bạn bản tóm tắt hữu ích nhất của Viggo Kann:

1. Đóng gói tối đa
2. Bộ độc lập tối đa
3. Max Clique