Có phải luôn luôn có một sự phức tạp Big Oh giữa hai người khác không?

Tôi đang tìm hiểu về phân tích tiệm cận, và đã thấy một số phức tạp trông kỳ lạ sống giữa những cái phổ biến khác. Ví dụ: "log log n" nằm trong khoảng từ 1 đến log n. Nó làm cho tôi tự hỏi nếu một người luôn có thể tìm thấy sự phức tạp giữa bất kỳ hai người khác.

Cụ thể, đối với bất kỳ hàm f và g nào với O (f) O (g) luôn tồn tại một h sao cho O (f) O (h) O (g)?

Đây không phải là bài tập về nhà hay bất cứ điều gì. Tôi chỉ tò mò nếu có ai biết.

Có: lấy một hàm ở giữa, cho một số định nghĩa phù hợp của giữa. Bạn có nhiều lựa chọn.

Nếu (nơi sự bao gồm là khắt khe), sau đó g ∈ O ( g ) ∖ O ( f ) (vì nếu g ∈ O ( f ) và f ∈ O ( g $O(f) \subset O(g)$$g \in O(g) \setminus O(f)$$g \in O(f)$$f \in O(g)$ sau đó ). Lấy hình học có nghĩa là: hãy h = $\Theta(f) = \Theta(g)$ (vì chúng ta đang nói về sự phức tạp ở đây, tôi giả sử các chức năng là tích cực).$h = \sqrt{f \cdot g}$

Sau đó, và h ∈ O ( g ) (nếu điều này không phải là ngay lập tức rõ ràng, chứng minh điều đó bằng cách sử dụng định nghĩa của O ), tức là O ( f ) ⊆ O ( h ) ⊆ O ( g ) . Nếu O ( f ) = O ( h ) sau đó g = f ∈ O ( f ) , mà không phải là trường hợp kể từ khi chúng tôi giả định$f \in O(h)$$h \in O(g)$$O$$O(f) \subseteq O(h) \subseteq O(g)$$O(f) = O(h)$$g = f \in O(f)$ . Nó vẫn còn để chứng minh rằng O ( h ) ≠ O ( g ) , và chúng tôi sẽ có O ( f ) ⊂ O ( h ) ⊂ ( g ) .$g \notin O(f)$$O(h) \ne O(g)$$O(f) \subset O(h) \subset (g)$

Nếu thì g ∈ O ( h ) , tức là có tồn tại Một và C > 0 sao cho ∀ x ≥ Một , g ( x ) ≤ $O(h) = O(g)$$g \in O(h)$$A$$C \gt 0$ . Sau đó,g(x)≤C2f(x)(lấy vuông và chia chog(x), một lần nữa, tôi giả sử các chức năng tích cực), do đóg∈O(f), mà đi ngược lại giả định ban đầu của chúng tôi. Giả thuyếtO(h)=O(g)dẫn đến mâu thuẫn, kết luận bằng chứng.$\forall x \ge A, g(x) \le C \, h(x) = C \sqrt{f(x) g(x)}$$g(x) \le C^2 f(x)$$g(x)$$g \in O(f)$$O(h) = O(g)$

điều này dường như đúng với các hàm "được xác định rõ" hoặc có thể "không gian / thời gian có thể xây dựng" tuy nhiên được gọi là "hàm bệnh lý" được gọi là (bởi một số) "Blum Gap", ví dụ như định lý Blums Gap mà nó không phải là trường hợp do đó, nó có vẻ tương tự như khái niệm về sự khác biệt trong tính toán, hoạt động cho "các hàm hoạt động tốt nhất" nhưng "ngoại lệ bệnh lý" đã được tìm thấy. Dường như không có nhiều nghiên cứu có hệ thống / nghiên cứu sâu hơn về những "ngoại lệ bệnh lý" này trong lý thuyết phức tạp.