Ý tưởng phổ biến trong phép nhân Karatsuba, Gauss và Strassen

Các danh tính được sử dụng trong các thuật toán nhân

• Karatsuba (số nguyên)

• Gauss (số phức)

• Strassen (ma trận)

có vẻ liên quan rất chặt chẽ. Có một khung trừu tượng / khái quát hóa chung?

Khung cổ điển là một trong những thuật toán song tuyến và phân rã thứ hạng tenor; về cơ bản, bạn xây dựng 3 chiều tensor liên quan đến bản đồ Bilinear $f(A,B) = A \cdot B$ , trong căn cứ vào hệ số, sau đó tìm kiếm một phân hủy của nó dưới dạng tổng của cấp bậc-one tensors (ví dụ, những người có dạng $T_{i,j,k} = u_i v_j w_k$ ). Bạn sẽ thấy điều này được giải thích chi tiết hơn, ví dụ, trong bài viết này của Bläser , hoặc trong cuốn sách của Bürgisser, Clausen, Shokrollahi, Lý thuyết phức tạp đại số.

Theo như tôi hiểu, việc cải cách về mặt giải thích nhóm mà Suresh đề cập trong câu trả lời của ông là một cách sau, và tôi thấy nó không phù hợp với cách tiếp cận đầu tiên của chủ đề (nhưng, tất nhiên, đó có thể là sai lệch về phía tôi ).

Một câu trả lời một phần cho câu hỏi của bạn là phương pháp lý thuyết nhóm được phát triển đầu tiên bởi Cohn và Umans và được phát triển thêm bởi Cohn, Kleinberg, Szegedy và Umans. Nó có thể "sắp xếp" bắt Strassen và Coppersmith-Winograd để nhân ma trận.