Các vấn đề là NP nhưng đa thức trên biểu đồ của treewidth giới hạn

Tôi nghe nói ở đây rằng bài toán chu trình Hamilton là đa thức trên đồ thị của treewidth giới hạn.

Tôi quan tâm đến các ví dụ / tài liệu tham khảo cho các vấn đề khác nhau, về cơ bản là khó nhưng có độ phức tạp đa thức trên biểu đồ của treewidth giới hạn.

Có lẽ có hàng ngàn ví dụ; có một danh sách ngắn tại ISGCI ; các bài viết Wikipedia có rất nhiều liên kết. Tìm kiếm "giới hạn treewidth" và "treewidth phức tạp tham số hóa" cho nhiều, nhiều hơn nữa.

Về cơ bản, các vấn đề trở nên dễ dàng trên đồ thị của treewidth bị chặn bởi vì:

1. Mặc dù nó hoàn thành NP để xác định xem đồ thị có nhiều nhất không $k$ [1], có, cho mọi $k$ một thuật toán thời gian tuyến tính để tính toán phân rã cây của bất kỳ đồ thị nào thực sự có treewidth $k$ [2].

2. Một khi bạn có sự phân rã cây, bạn có thể giải quyết nhiều vấn đề bằng cách lập trình động.

Một ví dụ đơn giản, thậm chí không sử dụng lập trình động, là vấn đề Clique. Bất kỳ cụm đồ thị nào cũng phải được chứa hoàn toàn trong một số nút của phân tách cây. Điều đó có nghĩa là một biểu đồ của treewidth $k$ có thể không có cụm kích thước lớn hơn $k+1$ và, để tìm một cụm kích thước tối đa $k+1$, bạn chỉ cần xem liệu mỗi nút của phân tách có chứa cụm mà bạn đang tìm kiếm hay không. Điều đó có thể được thực hiện trong thời gian tuyến tính nếu $k$ là một hằng số cố định, vì bạn chỉ đang kiểm tra các cửa hàng trong $O(n)$ đồ thị mà mỗi cái có nhiều nhất $k+1$ các đỉnh.

Đối với một ví dụ phức tạp hơn, giả sử bạn muốn biết nếu một biểu đồ $G$của treewidth 4 là 3 màu. Đầu tiên, tính toán phân hủy cây. Mỗi đỉnh của cây tương ứng với một sơ đồ con có tối đa 5 đỉnh của $G$. Đối với mỗi lá của cây, tính toán bằng vũ lực tất cả 3 màu của các sơ đồ con tương ứng. Đây là thời gian đa thức vì có nhiều nhất $n$ các lá, mỗi lá tương ứng với một sơ đồ con có nhiều nhất 5 đỉnh và có nhiều nhất $3^5=243$3 màu của bất kỳ đồ thị con như vậy. Bây giờ, cho mỗi đỉnh $v$ của cây nằm cạnh một chiếc lá, liệt kê tất cả 3 màu tương thích với màu của lá bên cạnh $v$. (Đó là, 3 màu của sơ đồ con tương ứng với $v$ có thể được mở rộng thành 3 màu của biểu đồ tương ứng với $v$và tất cả các lá lân cận của nó.) Tại thời điểm này, bạn có thể quên đi màu sắc của lá, vì mọi thứ bạn cần biết về chúng giờ được mã hóa theo các đỉnh khoảng cách 1. Bây giờ, lặp đi lặp lại lên cây. Bạn có thể tưởng tượng làm một cái gì đó tương tự cho đường dẫn Hamilton, xây dựng một đường dẫn xuyên qua toàn bộ cây bằng cách nối các đường dẫn trong các cây con; điều đó phức tạp hơn

[1] Arnborg, Corneil, và Proskurowski, "phức tạp của việc tìm kiếm embeddings trong một k-cây", SIAM Journal về Phân tích Matrix và ứng dụng 8 (2):. 277-284, 1987. DOI .

[2] Bodlaender, "Thuật toán thời gian tuyến tính để tìm phân rã cây treewidth nhỏ", Tạp chí SIAM về máy tính 25 (6): 1305 Lỗi1317, 1996. DOI .

Thông thường, đối với nhiều "vấn đề cục bộ" như $\mathsf{Vertex Cover}$ hoặc là $\mathsf{IndependentSet}$ (có nghĩa là một giải pháp có thể được xác minh bằng cách kiểm tra vùng lân cận của mỗi đỉnh), các phương pháp lập trình động tiêu chuẩn chạy trong $c^{\textbf{tw}}|V|^{O(1)}$ thời gian, ở đâu $\textbf{tw}$ là treewidth của đồ thị đầu vào và $c$là một số (nhỏ) không đổi. Đối với nhiều vấn đề trong số này, chúng tôi đã kết hợp các giới hạn trên và dưới trong thời gian chạy của giải pháp tối ưu, giả sử cái gọi là Giả thuyết Thời gian theo hàm mũ mạnh mẽ (SETH).

Ở một khía cạnh nào đó, các vấn đề với một số "ràng buộc toàn cầu" (như kết nối) có vẻ khó hơn. Đối với các vấn đề như vậy, thuật toán DP điển hình phải xem xét tất cả các cách mà giải pháp có thể đi qua dải phân cách tương ứng của phân tách cây, đó là$\Omega(s^s)$, Ở đâu $s$là kích thước của dải phân cách. Để biết thêm, bạn có thể xem bài báo FOCS'11 của Cygan và cộng sự, phiên bản arXiv tại đây . Họ xem xét các thuật toán Monte Carlo cho các vấn đề với các ràng buộc toàn cầu. Có công việc tiếp theo theo hướng này là điều tra "nhu cầu" cho sự ngẫu nhiên.

Bạn cũng có thể xem Chương 5 của Fomin, Fedor V. và Dieter Kratsch. Các thuật toán hàm mũ chính xác. Mùa xuân năm 2010.

Có lẽ bạn có thể bắt đầu với:

H. Bodlaender và A. Koster, Tối ưu hóa kết hợp trên đồ thị của băng thông bị ràng buộc, Tạp chí máy tính 51 (3), 255-269, 2008.

Tìm thấy tài liệu tham khảo dưới "Tài nguyên" từ đây .

Dưới đây là một nghiên cứu gần đây về hiện tượng treewidth này đã hạn chế sự phức tạp của vấn đề và chuyển nó thành P từ quan điểm của ví dụ SAT (độ cứng). Điều này có thể tạo ra một khuôn khổ lớn hơn để giúp hiểu được sự đơn giản hóa trong các vấn đề hoàn thành NP khác (thông qua việc giảm SAT).

Backreen mạnh đến Bounded Treecreen SAT Gaspers / Szeider 2012

Khả năng phân tách có thể được xem xét dưới dạng treewidth của đồ thị được liên kết với công thức CNF đã cho, ví dụ bằng cách xem các mệnh đề và biến là các đỉnh của đồ thị và tạo một biến liền kề với tất cả các mệnh đề mà nó xuất hiện. tay, một bộ cửa sau mạnh mẽ của công thức CNF là một tập hợp các biến sao cho mỗi phép gán một phần có thể cho tập hợp này sẽ chuyển công thức thành một lớp cố định để có thể giải quyết SAT (#) trong thời gian đa thức. Trong bài báo này, chúng tôi kết hợp hai cách tiếp cận trên. Cụ thể, chúng tôi nghiên cứu câu hỏi về thuật toán tìm một cửa hậu nhỏ mạnh được đặt vào lớp W_t của các công thức CNF có đồ thị liên quan có nhiều nhất là treewidth.