Là phần bổ sung của {ww | Vấu} không ngữ cảnh?

Xác định ngôn ngữ $L$ là $L = \{a, b\}^* - \{ww\mid w \in \{a, b\}^*\}$ . Nói cách khác, $L$ chứa các từ không thể diễn tả như một số từ được lặp lại hai lần. Là $L$ bối cảnh miễn phí hay không?

Tôi đã cố gắng để giao nhau $L$ với $a^*b^*a^*b^*$ , nhưng tôi vẫn không thể chứng minh bất cứ điều gì. Tôi cũng đã xem định lý của Parikh, nhưng nó không có ích.

Đó là bối cảnh miễn phí. Đây là ngữ pháp:

$S \to A | B|AB|BA$
$A \to a|aAa|aAb|bAb|bAa$
$B \to b|aBa|aBb|bBb|bBa$

$A$ tạo ra các từ có độ dài lẻ với$a$ ở giữa. Tương tự cho$B$ và$b$ .

Tôi sẽ trình bày một bằng chứng rằng ngữ pháp này là chính xác. Đặt $L = \{a,b\}^* \setminus \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$ (ngôn ngữ trong câu hỏi).

Định lý. $L = L(S)$ . Nói cách khác, ngữ pháp này tạo ra ngôn ngữ trong câu hỏi.

Bằng chứng. Điều này chắc chắn giữ cho tất cả các từ lẻ chiều dài, vì ngữ pháp này tạo ra tất cả lẻ độ dài từ, cũng như L . Vì vậy, hãy tập trung vào các từ có độ dài bằng nhau.$L$

Giả sử x ∈ L có chiều dài chẵn. Tôi sẽ chỉ ra rằng x ∈ L ( G ) . Cụ thể, tôi cho rằng x có thể được viết dưới dạng x = u v , trong đó cả u và v đều có độ dài lẻ và có các chữ cái trung tâm khác nhau. Do đó x có thể được bắt nguồn từ A B hoặc B A (tùy theo chữ cái trung tâm của u là a hay b ). Biện minh cho yêu cầu: Hãy để thư thứ i của $x \in L$$x \in L(G)$$x$$x=uv$$u$$v$$x$$AB$$BA$$u$$a$$b$$i$$x$được ký hiệu là x i , sao cho x = x 1 x 2 ⋯ x n . Sau đó, từ năm x không có trong { i + n / 2 . Do đó chúng ta có thể lấy u = x 1 ⋯ x 2 i $x_i$$x = x_1 x_2 \cdots x_n$$x$w w ∣ w ∈ { a , b } n / 2 } , phải tồn tại một số chỉ số i sao cho x i ≠ $\{ww \mid w \in \{a,b\}^{n/2}\}$$i$$x_i \ne x_{i+n/2}$1 vàv= x 2 i ⋯ x n ; chữ cái trung tâm củausẽ là x i và chữ cái trung tâm củavsẽ là x i + n / 2 , do đó, khi xây dựngu,vcó các chữ cái trung tâm khác nhau.$u = x_1 \cdots x_{2i-1}$$v = x_{2i} \cdots x_n$$u$$x_i$$v$$x_{i+n/2}$$u,v$

Tiếp theo giả sử x ∈ L ( G ) có độ dài chẵn. Tôi sẽ chứng minh rằng chúng ta phải có x ∈ L . Nếu x có độ dài chẵn thì nó phải có nguồn gốc từ A B hoặc B A ; mà không mất tính tổng quát, giả sử nó là derivable từ A B , và x = u v nơi u là derivable từ A và v là derivable từ B . Nếu u , v có độ dài tương tự, sau đó chúng ta phải có u $x \in L(G)$$x \in L$$x$$AB$$BA$$AB$$x=uv$$u$$A$$v$$B$$u,v$v (kể từ khi họ có chữ trung ương khác nhau), do đó x ∉ { w w | w ∈ { một , b } * } . Vì vậy, giả sử u , v có độ dài khác nhau, nói chiều dài ℓ và n - ℓ tương ứng. Khi đó chữ cái trung tâm của chúng là u ( ℓ + 1 ) / 2 và v ( n - ℓ + 1 ) / 2 . Thực tế là$u\ne v$$x \notin \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$$u,v$$\ell$$n-\ell$$u_{(\ell+1)/2}$$v_{(n-\ell+1)/2}$, V có chữ trung tâm khác nhau có nghĩa rằng u ( ℓ + 1 ) / 2 ≠ v ( n - ℓ + 1 ) / 2 . Vì x = u v , điều này có nghĩa là x ( ℓ + 1 ) / 2 ≠ x ( n + ℓ + 1 ) / 2 . Nếu chúng ta cố gắng phân tách x là x = w $u,v$$u_{(\ell+1)/2} \ne v_{(n-\ell+1)/2}$$x=uv$$x_{(\ell+1)/2} \ne x_{(n+\ell+1)/2}$$x$' Nơi w , w ' có cùng độ dài, sau đó chúng tôi sẽ khám phá ra rằng w ( ℓ + 1 ) / 2 = x ( ℓ + 1 ) / 2 ≠ x ( n + ℓ + 1 ) / 2 = w ' ( ℓ + 1 ) / 2 , tức là w ≠ w ' , vì vậy x ∉ { w $x=ww'$$w,w'$$w_{(\ell+1)/2} = x_{(\ell+1)/2} \ne x_{(n+\ell+1)/2} = w'_{(\ell+1)/2}$$w\ne w'$∣ w ∈ { a , b } ∗ } . Đặc biệt, nó sau đó x ∈ L .$x \notin \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$$x \in L$

Ngôn ngữ này là ngữ cảnh miễn phí, nó đã được chứng minh trong bài báo sau:

Tomaszewski, Zach. "Một ngữ pháp không ngữ cảnh cho một chuỗi lặp lại." Tạp chí Thông tin và Khoa học Máy tính , 2012 ( PDF ).

Ngữ pháp như sau: