Xây dựng ma trận nhị phân không tương đương

Tôi đang cố gắng xây dựng tất cả các ma trận không tương đương (hoặc nếu bạn muốn) với các phần tử 0 hoặc 1. Thao tác cung cấp ma trận tương đương là trao đổi đồng thời của hàng i và j VÀ cột i và j . ví dụ. cho $8\times 8$ $n\times n$ $1\leftrightarrow2$

(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}) ~ (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})

$\begin{equation} \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{equation}$

Cuối cùng, tôi cũng sẽ cần phải đếm có bao nhiêu ma trận tương đương trong mỗi lớp nhưng tôi nghĩ định lý đếm của Polya có thể làm điều đó. Bây giờ tôi chỉ cần một cách algoritmic để xây dựng một ma trận trong mỗi lớp không tương đương. Có ý kiến gì không?

algorithms combinatorics

— Dị hình
nguồn

Có ít nhất

trong số này. Đó là một con số thực sự lớn.

2^{64} / 8! \geq 2^{48}

$2^{64}/8! \geq 2^{48}$

— Yuval Filmus

@Yuval: Đây thực sự là những con số lớn và theo tính toán của tôi, nó thực sự tạo ra sự khác biệt nếu đó là

hoặc

. Nó có thể mất nhiều tuần hơn để chạy! Đây là lý do tôi đang cố gắng sử dụng tất cả các đối xứng của vấn đề trong tay. Bên cạnh đó, vấn đề này bắt nguồn từ việc xây dựng mô hình trong Lý thuyết chuỗi! :)

2^{48}

$2^{48}$

2^{52}

$2^{52}$

— Heterotic 27/12/13

Bạn dự định làm gì với tất cả các ma trận này? Bạn sẽ cất chúng ở đâu? Ứng dụng là gì?

— Yuval Filmus

ý tưởng: không phải điều này rất giống với vấn đề đẳng cấu đồ thị? ma trận cạnh là ma trận cạnh đồ thị? ngoại trừ những thứ đối xứng ... có thể có thể được sử dụng bằng cách nào đó, có rất nhiều lý thuyết về điều đó ...

— vzn

math.stackexchange.com/questions/924745/ từ

— orezvani

Tôi đã đạt được một số tiến bộ để trả lời câu hỏi này. Tôi sẽ đăng ở đây trong trường hợp bất kỳ ai khác quan tâm và cũng bởi vì việc xây dựng này có thể có một số hữu ích cho các biểu đồ (được định hướng).

Đếm số lượng 1s trong mỗi hàng. Hãy để là số hàng với zero 1s, số hàng với một 1 và như vậy cho đến là số hàng đó có tám 1s. Rõ ràng . Các parametrization đề nghị mà tôi đã đến sau khi thử và sai là: trong đó T là dấu vết của ma trận và S là nếu ma trận đối xứng và ngược lại. T chạy từ đến $a_0$ $a_1$ $a_8$ $\sum a_i=8$

({một}_{1}, \dots, {một}_{số 8}; T, S)

$(a_1,\cdots, a_8; T, S)$

1

$1$

0

$0$

0

$0$

\sum_{i = 1}^{8} a_{i} = 8 - a_{0}

$\sum_{i=1}^8 a_i=8-a_0$

Từ các thử nghiệm và lỗi của tôi, có vẻ như nếu hai ma trận khác nhau trong tham số này thì chúng thuộc các lớp tương đương khác nhau, vì vậy để xây dựng một đại diện trong mỗi lớp, chúng ta chỉ cần quét qua khoảng trống của các tham số như mô tả ở trên.

(Cập nhật) Hóa ra tham số này hoạt động tốt với n = 2 nhưng không phải cho n = 3 vì nó có thể được nhìn thấy bằng phép tính lực vũ phu. Tôi vẫn nghĩ rằng nó cung cấp một số cái nhìn sâu sắc về cấu trúc của câu trả lời và tôi mời mọi người thử và sửa đổi / mở rộng nó để bao quát trường hợp chung nhất.

— Dị hình
nguồn

1 \times 1

$1 \times 1$

2 \times 2

$2\times 2$

7 \times 7

$7 \times 7$

@DW: Quả thực đó là bằng chứng cho thấy điều kiện này đủ gây phiền toái cho tôi và là người tôi muốn giúp đỡ. Tôi sẽ thử xác minh nó một cách triệt để cho các trường hợp nhỏ hơn và xem điều gì sẽ xảy ra. Cảm ơn vì lời khuyên! Thật không may, tôi không biết làm thế nào để sử dụng một bộ giải SAT để tìm kiếm các mẫu phản. Nếu phỏng đoán, giữ cho các ma trận nhỏ hơn, tôi có thể bắt đầu tìm hiểu về nó ...

— Heterotic 30/12/13

Làm cho ý nghĩa, dị! Trên thực tế, tôi lấy lại tuyên bố của mình về việc sử dụng bộ giải SAT. Tôi không biết làm thế nào để sử dụng bộ giải SAT để tìm kiếm các mẫu phản, (lúc đầu khó hơn tôi nghĩ) - vì vậy hãy bỏ qua phần bình luận của tôi. Xin lỗi vì điều đó!

— DW

a_{i}

$a_i$

(1, 4)

$(1,4)$

(2, 3)

$(2,3)$

(1, 4)

$(1,4)$

(2, 4)

$(2,4)$ (tất cả các mục 0 còn lại cho cả hai) không tương đương nhưng có cùng tham số. (Tất nhiên điều này ngay lập tức dẫn đến một tham số được cải thiện cũng đưa các cột vào tài khoản.)

— FrankW

Không đồng nhất, bây giờ bạn biết câu trả lời của mình không hiệu quả, tôi khuyên bạn nên xóa câu trả lời của mình để nó không gây nhầm lẫn cho người khác ...

— DW