Độ phức tạp thời gian của việc tìm đường kính của đồ thị

Độ phức tạp thời gian của việc tìm đường kính của đồ thị $G=(V,E)$ gì?

• ${O}(|V|^2)$
• ${O}(|V|^2+|V| \cdot |E|)$
• ${O}(|V|^2\cdot |E|)$
• ${O}(|V|\cdot |E|^2)$

Đường kính của đồ thị là cực đại của tập hợp khoảng cách đường đi ngắn nhất giữa tất cả các cặp đỉnh trong đồ thị.$G$

Tôi không biết phải làm gì về nó, tôi cần một phân tích đầy đủ về cách giải quyết vấn đề như thế này.

Cập nhật:

Giải pháp này không đúng.

Thật không may, giải pháp chỉ đúng (và đơn giản) cho cây! Tìm đường kính của cây thậm chí không cần điều này. Đây là một ví dụ cho đồ thị (đường kính là 4, thuật toán trả về 3 nếu bạn chọn này ):$v$

Nếu đồ thị được định hướng thì điều này khá phức tạp, đây là một số bài báo khẳng định kết quả nhanh hơn trong trường hợp dày đặc hơn là sử dụng thuật toán cho các đường dẫn ngắn nhất của tất cả các cặp.

Tuy nhiên, điểm chính của tôi là về trường hợp đồ thị không được định hướng và với các âm lượng không âm, tôi đã nghe về một mẹo hay nhiều lần:

1. Chọn một đỉnh $v$
2. Tìm sao cho d ( v , u ) là cực đại$u$$d(v,u)$
3. Tìm sao cho d ( u , w ) là tối đa$w$$d(u,w)$
4. Trả về $d(u,w)$

Độ phức tạp của nó giống như hai lần tìm kiếm đầu tiên liên tiếp, đó là nếu biểu đồ được kết nối².$O(|E|)$

Có vẻ như văn hóa dân gian nhưng hiện tại, tôi vẫn đang cố gắng để có được một tài liệu tham khảo hoặc để chứng minh sự điều chỉnh của nó. Tôi sẽ cập nhật khi tôi đạt được một trong những mục tiêu này. Có vẻ như rất đơn giản, tôi đăng câu trả lời của mình ngay bây giờ, có thể ai đó sẽ nhận được nó nhanh hơn.

¹ nếu đồ thị có trọng số, wikipedia dường như nói nhưng tôi chỉ chắc chắn về O ( | E | log | V | ) .$O(|E|+|V|\log|V|)$$O(|E|\log|V|)$

² Nếu đồ thị không được kết nối, bạn nhận được nhưng bạn có thể phải thêm O ( α ( | V | ) ) để chọn một phần tử từ mỗi thành phần được kết nối. Tôi không chắc chắn nếu điều này là cần thiết và dù sao, bạn có thể quyết định rằng đường kính là vô hạn trong trường hợp này.$O(|V|+|E|)$$O(α(|V|))$

Tôi giả sử bạn có nghĩa là đường kính của đó là con đường ngắn nhất dài nhất được tìm thấy trong G .$G$$G$

Tìm đường kính có thể được thực hiện bằng cách tìm tất cả các đường dẫn ngắn nhất trước và xác định độ dài tối đa được tìm thấy. Thuật toán Floyd-Warshall thực hiện điều này trong thời gian. Thuật toán Johnson có thể được thực hiện để đạt được O ( | V | 2 log | V | + | V | ⋅ | E | ) thời gian.$\Theta(|V|^3)$$\cal{O}(|V|^2\log |V| + |V|\cdot|E|)$

Một thời gian chạy trường hợp xấu nhất nhỏ hơn có vẻ khó đạt được vì có khoảng cách để xem xét và tính toán khoảng cách đó theo thời gian tuyến tính (khấu hao) mà mỗi lần sẽ khó khăn; xem ở đây cho một ràng buộc liên quan. Lưu ý này giấy trong đó sử dụng một cách tiếp cận khác nhau và có được một thuật toán (hơi) nhanh hơn.$\cal{O}(|V|^2)$

Bạn cũng có thể xem xét một phương pháp lý thuyết đồ thị đại số. Đường kính là số nguyên nhỏ nhất t ma trận M = I + $\text{diam}(G)$$t$$M=I+A$ có thuộc tính rằng tất cả các mục nhập của đều khác không. Bạn có thể tìm thấy t bởi các phép lặp O ( log n ) của phép nhân ma trận. Thuật toán đường kính sau đó yêu cầu thời gian O ( M ( n ) log n ) , trong đó M ( n $M^t$$t$$O(\log n)$$O(M(n) \log n)$$M(n)$là giới hạn cho phép nhân ma trận. Ví dụ, với việc khái quát hóa thuật toán Coppersmith-Winograd của Vassilevska Williams, thuật toán đường kính sẽ chạy trong . Để biết giới thiệu nhanh, xem Chương 3 trong cuốn sách của Fan Chung tại đây .$O(n^{2.3727} \log n)$

Nếu bạn hạn chế sự chú ý của mình vào một lớp biểu đồ phù hợp, bạn có thể giải quyết vấn đề APSP trong thời gian tối ưu . Các lớp này bao gồm ít nhất là đồ thị khoảng, đồ thị cung tròn, đồ thị hoán vị, đồ thị hoán vị lưỡng cực, đồ thị hợp âm mạnh, đồ thị lưỡng cực hợp âm, đồ thị di truyền từ xa và đồ thị hợp âm đôi. Ví dụ, xem Dragan, FF (2005). Ước tính tất cả các cặp đường dẫn ngắn nhất trong các họ đồ thị bị hạn chế: một cách tiếp cận thống nhất. Tạp chí thuật toán, 57 (1), 1-21 và các tài liệu tham khảo trong đó.$O(n^2)$

Giả định:
1. Đồ thị không có trọng số
2. Đồ thị được định hướng

Độ phức tạp thời gian O (| V | | E |).

Thuật toán:

ComputeDiameter(G(V,E)):
  if ( isCycle( G(v,E) ) ) then
     return INFINITY
  if ( not isConnected( G(V,E) )) then
     return INFINITY
  diameter = 0
  for each vertex u in G(V,E):
     temp = BFS(G,u)
     diameter = max( temp , diameter )
  return diameter

Giải thích:
Chúng tôi kiểm tra chu kỳ. nếu đồ thị chứa chu kỳ thì chúng ta tiếp tục di chuyển trong vòng lặp, vì vậy chúng ta sẽ có khoảng cách vô hạn. Chúng tôi kiểm tra kết nối. Nếu đồ thị không được kết nối có nghĩa là đỉnh u từ G1 đến đỉnh v trong G2. Trong đó G1 và G2 là hai biểu đồ con không được kết nối. Vì vậy, chúng ta sẽ có khoảng cách vô hạn một lần nữa. Chúng tôi sẽ sử dụng BFS để tính khoảng cách tối đa giữa một nút (u) nhất định với tất cả các nút khác (v) có thể truy cập từ u. Sau đó, chúng tôi sẽ lấy tối đa đường kính tính toán trước đó và kết quả trả về bằng BFS. Vì vậy, chúng tôi sẽ có đường kính tối đa hiện tại.

Thời gian chạy phân tích:

1. O (| E |) sử dụng DFS
2. O (| E |) sử dụng DFS
3. BFS chạy trong thời gian O (| E |).
4. Chúng ta phải gọi hàm BFS cho mỗi đỉnh nên tổng thời gian sẽ mất O (| V | | E |).

Tổng thời gian = O (| v | | E |) + O (| E |) + O (| E |)
Vì | V | | E | > | E |
vì vậy chúng ta có thời gian chạy là O (| v | | E |).

BFS
DFS

Lưu ý: Đây không phải là một giải pháp tao nhã cho vấn đề này.