Một trường hợp phân biệt về lập trình động: Ví dụ cần thiết!

Tôi đã làm việc về lập trình động một thời gian. Cách chính tắc để đánh giá đệ quy lập trình động là bằng cách tạo một bảng gồm tất cả các giá trị cần thiết và điền vào từng hàng. Xem ví dụ Cormen, Leiserson et al: "Giới thiệu về thuật toán" để biết giới thiệu.

Tôi tập trung vào sơ đồ tính toán dựa trên bảng theo hai chiều (điền theo từng hàng) và nghiên cứu cấu trúc của các phụ thuộc ô, tức là các ô nào cần được thực hiện trước khi có thể tính toán các ô khác. Chúng tôi biểu thị với tập các chỉ số của các tế bào tế bào i phụ thuộc vào. Lưu ý rằng Γ cần phải được chu kỳ miễn phí.$\Gamma(\mathbf{i})$$\mathbf{i}$$\Gamma$

Tôi trừu tượng từ chức năng thực tế được tính toán và tập trung vào cấu trúc đệ quy của nó. Chính thức, tôi coi việc tái diễn là lập trình động nếu nó có dạng$d$

$\qquad d(\mathbf{i}) = f(\mathbf{i}, \widetilde{\Gamma}_d(\mathbf{i}))$

với , ~ Γ d ( i ) = { ( j , d ( j ) ) | j ∈ Γ d ( i ) } và f một số chức năng (tính toán) mà không làm sử dụng d khác hơn là qua ~ Γ d .$\mathbf{i} \in [0\dots m] \times [0\dots n]$$\widetilde{\Gamma}_d(\mathbf{i}) = \{(\mathbf{j},d(\mathbf{j})) \mid \mathbf{j} \in \Gamma_d(\mathbf{i}) \}$$f$$d$$\widetilde{\Gamma}_d$

Khi hạn chế granularity của đến các vùng khó khăn (bên trái, phía trên bên trái, hàng đầu, phía trên bên phải, ... của tế bào hiện hành) một nhận xét rằng về cơ bản có ba trường hợp (lên đến đối xứng và xoay) của giá trị thu hồi lập trình động thông báo làm thế nào bảng có thể được điền:$\Gamma_d$

Các khu vực màu đỏ biểu thị (overapproximations của) . Trường hợp một và hai thừa nhận tập hợp con, trường hợp ba là trường hợp xấu nhất (chuyển đổi chỉ số). Lưu ý rằng nó không phải là yêu cầu nghiêm ngặt rằng toàn bộ khu vực màu đỏ được bao phủ bởi Γ ; một số ô trong mỗi phần màu đỏ của bảng là đủ để tô màu đỏ. Các khu vực màu trắng được yêu cầu rõ ràng để không chứa bất kỳ tế bào cần thiết.$\Gamma$$\Gamma$

Ví dụ cho trường hợp một là khoảng cách chỉnh sửa và chuỗi con chung dài nhất , trường hợp hai áp dụng cho Bellman & Ford và CYK . Các ví dụ ít rõ ràng hơn bao gồm các hoạt động trên các đường chéo thay vì các hàng (hoặc cột) vì chúng có thể được xoay để phù hợp với các trường hợp được đề xuất; xem câu trả lời của Joe cho một ví dụ.

Tôi không có ví dụ (tự nhiên) cho trường hợp ba, mặc dù! Vì vậy, câu hỏi của tôi là: ví dụ cho trường hợp ba vấn đề / vấn đề lập trình động là gì?

Có rất nhiều ví dụ khác về các thuật toán lập trình động hoàn toàn không phù hợp với mô hình của bạn.

• Vấn đề tiếp theo tăng dài nhất chỉ cần một bảng một chiều.

• Có một số thuật toán lập trình động tự nhiên có các bảng yêu cầu ba hoặc thậm chí nhiều chiều hơn. Ví dụ: Tìm hình chữ nhật màu trắng diện tích tối đa trong bitmap. Thuật toán lập trình động tự nhiên sử dụng bảng ba chiều.

• $(1+\epsilon)$

$A(m,n)$$A(m,n-1)$$A(m-1,k)$$k$

Điều này không lý tưởng phù hợp với các yêu cầu, vì số lượng cột là vô hạn và việc tính toán thường được thực hiện từ trên xuống với việc ghi nhớ, nhưng tôi nghĩ rằng nó đáng để đề cập.

Điều này không phù hợp với trường hợp 3 chính xác, nhưng tôi không biết liệu có trường hợp nào của bạn nắm bắt được một vấn đề rất phổ biến được sử dụng để dạy lập trình động hay không: Phép nhân chuỗi ma trận . Để giải quyết vấn đề này, (và nhiều vấn đề khác, đây chỉ là vấn đề chính tắc) chúng tôi điền vào đường chéo ma trận theo đường chéo thay vì từng hàng.

Vì vậy, quy tắc là một cái gì đó như thế này:

Tôi biết đó là một ví dụ ngớ ngẩn, nhưng tôi nghĩ một vấn đề lặp đơn giản như

Tìm tổng các số trong một ma trận vuông

có thể đủ điều kiện. Kiểu "cho mỗi hàng cho mỗi cột" truyền thống trông giống như trường hợp 3 của bạn.

Đây chính xác không phải là không gian tìm kiếm mà bạn đang tìm kiếm nhưng tôi có một ý tưởng về đỉnh đầu của tôi có thể giúp ích.

Vấn đề :

$n × n$$M$$x$$M$

Câu trả lời

Điều này có thể được giải quyết theo cách đệ quy sau:

$k = \lceil{\frac{1+n}{2}}\rceil$$x$$m_{k,k}$$x<m_{k,k}$$m_{i,j}$$k\leq i\leq n$$k\leq j\leq n$$1/4$$x>m_{k,k}$$1/4$$\frac{3}{4} n^2$$x$$\left(\frac{3}{4}\right)^3 n^2$