Ước tính độ phức tạp Kolmogorov cho số nguyên N đầu tiên là gì?

Tôi biết một số int có độ phức tạp Kolmogorov cao hơn hoặc thấp hơn. Ví dụ, số 5.41126806512có độ phức tạp rất thấp vì nó có thể được biểu thị bằng 17/pi. Tôi cũng nhận thức được rằng, mặc dù KC thay đổi tùy thuộc vào ngôn ngữ biểu thức, nó luôn luôn giống nhau đến một hằng số cho trước. Vì vậy, tôi hỏi: có cách nào để tính xấp xỉ KC cho N ints đầu tiên không?

Không, không có thuật toán chung để tính gần đúng với độ phức tạp Kolmogorov của chuỗi $1,2,\dots,n$. Bất kỳ thuật toán ứng cử viên nào bạn đưa ra sẽ có một số đầu vào trong đó nó đưa ra một câu trả lời sai (một xấp xỉ kém cho câu trả lời đúng).

Biểu thị bởi $[n]$ mã hóa nhị phân của số tự nhiên $n$và để $[[n]] = [1],[2],\ldots,[n]$ biểu thị một mã hóa được phân tách bằng dấu phẩy của chuỗi $1,\ldots,n$. Không khó để kiểm tra$|K([n]) - K([[n]])| = O(1)$. Kể từ khi tính toán$K([n])$ là không thể giải quyết được, nó tuân theo việc tính toán một xấp xỉ tốt cho $K([[n]])$ cũng không thể giải quyết được

Hơn nữa, người ta biết rằng đối với các số nguyên "nhất" $n$, $K([n]) = \Theta(\log n)$. Vì vậy, đối với số nguyên "nhất"$n$, $K([[n]]) = \Theta(\log n)$.

Một cách để thể hiện tuyên bố 'hầu như tất cả các số là ngẫu nhiên tối đa' là như khẳng định rằng $\sum_{i=1}^N K(i) \in\Theta(N\lg N)$. Để thuận tiện, hãy đặt$N=2^k$ và chỉ xem xét một phần của tổng số từ $2^{k-1}$ đến $2^k$; sau đó cho mỗi$c$ chúng ta có số lượng độ dài này với độ phức tạp $\geq k-c$ Là $2^{k-1}-2^{k-c}$(xem http://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov_complexity để biết một số chi tiết về điều này), vì vậy chúng tôi có thể chia tổng số thành tổng của '$c$số có thể nén được 'và số có thể nén được, với số trước đóng góp ít nhất $(1-2^{1-c})2^{k-1}(k-c)$đến tổng Massage nhiều hơn một chút là đủ để bạn có được một hình thức không đổi$1-o(1)$ ở phía trước (nghĩa là một tổng số $N\lg N-o(N\lg N)$).