Các nút mức độ thấp trong đồ thị thưa thớt

Để cho $G = (V,E)$là một đồ thị có đỉnh, không có đỉnh nào bị cô lập và cạnh, trong đó . Chứng tỏ rằng chứa ít nhất hai đỉnh bậc một.$n$$n−1$$n \geq 2$$G$

Tôi đã cố gắng giải quyết vấn đề này bằng cách sử dụng thuộc tính. Vấn đề này có thể được giải quyết bằng cách sử dụng nguyên tắc lỗ chim bồ câu ?$\sum_{v \in V} \operatorname{deg}(v) = 2|E|$

Vâng, nó có thể.

Bạn có $n-1$ cạnh, có nghĩa là $2n-2$lỗ cho chim bồ câu. Nếu mỗi nút được cho là có độ hai (hoặc nhiều hơn), chúng ta phải đặt (ít nhất) hai con chim bồ câu cho mỗi nút, điều đó tạo ra tổng cộng$2n$ chim bồ câu.

Theo nguyên tắc đã nói, (ít nhất) hai con chim bồ câu không tìm thấy một lỗ đơn độc, có nghĩa là (ít nhất) một nút bị cô lập hoặc (ít nhất) hai nút chỉ có một cạnh. Vì không có nút nào bị cô lập bởi giả định, bạn có (ít nhất) hai nút có độ một.

Vì số cạnh là $n-1$, đồ thị là một cái cây. Lấy một đỉnh bắt đầu$v$ trong $V(G)$. Bây giờ bắt đầu đi theo bất kỳ hướng nào, và tiếp tục đi, mà không lặp lại một đỉnh. Từ$G$ là hữu hạn và không chứa một chu kỳ, quá trình này cuối cùng sẽ dừng lại ở một đỉnh $u$ độ 1. Nếu $v$cũng đã có độ 1, chúng tôi đã xong. Nếu không, bắt đầu một bước đi mới theo một số hướng khác ra khỏi$v$. Bước đi này cũng kết thúc ở một đỉnh của độ 1.