Xác định số bị thiếu trong luồng dữ liệu

Chúng tôi nhận được một dòng $n-1$ cặp số khác nhau từ tập $\left\{1,\dots,n\right\}$ .

Làm cách nào tôi có thể xác định số bị thiếu bằng thuật toán đọc luồng một lần và sử dụng bộ nhớ chỉ các bit $O(\log_2 n)$ ?

Bạn biết và vìS=n(n+1$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ có thể được mã hóa bằngcác bitO(log(n)),điều này có thể được thực hiện trongbộ nhớO(logn)và trong một đường dẫn (chỉ cần tìmS-currentSum, đây là số bị thiếu).$S = \frac{n(n+1)}{2}$$O(\log(n))$$O(\log n)$$S - \mathrm{currentSum}$

Nhưng vấn đề này có thể được giải quyết trong trường hợp chung (đối với hằng số ): chúng ta có k số bị thiếu, tìm ra tất cả chúng. Trong trường hợp này thay vì chỉ tính tổng của y i , hãy tính tổng công suất j'st của x i cho tất cả 1 ≤ j ≤ k (Tôi giả sử x i bị thiếu số và y i là số đầu vào):$k$$k$$y_i$$x_i$$1\le j \le k$$x_i$$y_i$

$\qquad \displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^k x_i &= S_1,\\ \sum_{i=1}^k x_i^2 &= S_2,\\ &\vdots \\ \sum_{i=1}^k x_i^k &= S_k \end{align}$ $\qquad (1)$

Hãy nhớ rằng bạn có thể tính đơn giản, vì S 1 = S - ∑ y i , S 2 = ∑ i 2 - ∑ y 2 i , ...$S_1,...S_k$$S_1 = S - \sum y_i$$S_2 = \sum i^2 - \sum y_i^2$

Bây giờ để tìm số còn thiếu, bạn nên giải để tìm tất cả x i .$(1)$$x_i$

Bạn có thể tính toán:

, P 2 = ∑ x i ⋅ x j , ..., P k = ∏ x i ( 2 ) .$P_1 = \sum x_i$$P_2 = \sum x_i\cdot x_j$$P_k = \prod x_i$ $(2)$

Đối với điều này hãy nhớ rằng , P 2 = S 2 1 - S $P_1 = S_1$ , ...$P_2 = \frac{S_1^2 - S_2}{2}$

Nhưng là hệ số của$P_i$ nhưng P có thể là yếu tốduy nhất, vì vậy bạn có thể tìm số còn thiếu.$P=(x-x_1)\cdot (x-x_2) \cdots (x-x_k)$$P$

Đây không phải là suy nghĩ của tôi; đọc này .

Từ nhận xét trên:

Trước khi xử lý dòng, phân bổ bit, trong đó bạn viết x : = ⨁ n i = 1 b i n ( i ) ( b i n ( i ) là biểu diễn nhị phân của tôi và ⊕ là pointwise exclusive- hoặc là). Ngây thơ, điều này mất thời gian O ( n ) .$\lceil \log_2 n \rceil$$x:= \bigoplus_{i=1}^n \mathrm{bin}(i)$$\mathrm{bin}(i)$$i$$\oplus$$\mathcal{O}(n)$

Khi xử lý luồng, bất cứ khi nào người ta đọc một số , hãy tính x : = x ⊕ b i n ( j ) . Gọi k là số duy nhất từ { 1 , . . . n } không được bao gồm trong luồng. Sau khi đọc toàn bộ dòng, chúng ta có x = ( n ⨁ i = 1 b i i n ( i ) ) = b i n ( $j$$x := x \oplus \mathrm{bin}(j)$$k$$\{ 1, ... n\}$ mang lại kết quả mong muốn.

Do đó, chúng tôi đã sử dụng không gian và có thời gian chạy tổng thể là O ( n ) .$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(n)$

value$O(\log_2 n)$

$\text{fold}$$\oplus$

$\oplus$$O(\log_2 n)$$\oplus$$x \oplus x = 0$

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>

using namespace std;

void find_missing( int const * stream, int len );

int main( int argc, char ** argv )
{
    if( argc < 2 )
    {
        cerr << "Syntax: " << argv[0] << " N" << endl;
        return 1;
    }
    int n = atoi( argv[1] );

    //construct sequence
    vector<int> seq;
    for( int i=1; i <= n; ++i )
        seq.push_back( i );

    //remove a number and remember it
    srand( unsigned(time(0)) );
    int remove = (rand() % n) + 1;
    seq.erase( seq.begin() + (remove - 1) );
    cout << "Removed: " << remove << endl;

    //give the stream a random order
    std::random_shuffle( seq.begin(), seq.end() );

    find_missing( &seq[0], int(seq.size()) );
}

//HdM's solution
void find_missing( int const * stream, int len )
{
    //create initial value of n sequence xor'ed (n == len+1)
    int value = 0;
    for( int i=0; i < (len+1); ++i )
        value = value ^ (i+1);

    //xor all items in stream
    for( int i=0; i < len; ++i, ++stream )
        value = value ^ *stream;

    //what's left is the missing number
    cout << "Found: " << value << endl;
}