Giải thích đơn giản về lý do tại sao một số chức năng tính toán nhất định không thể được biểu diễn bằng một thuật ngữ đánh máy?

Đọc bài viết Giới thiệu về Giải tích Lambda , tôi đã bắt gặp một đoạn mà tôi không thực sự hiểu, ở trang 34 (chữ in nghiêng của tôi):

Trong mỗi hai mô hình, có một số phiên bản tính toán lambda đánh máy. Trong nhiều hệ thống quan trọng, đặc biệt là những người theo Giáo hội, đó là trường hợp các thuật ngữ có một loại luôn sở hữu một hình thức bình thường. Bằng cách không giải quyết được vấn đề tạm dừng, điều này ngụ ý rằng không phải tất cả các hàm tính toán có thể được biểu diễn bằng một thuật ngữ đánh máy, xem Barendregt (1990), Định lý 4.2.15. Điều này không tệ như âm thanh của nó, bởi vì để tìm ra các chức năng tính toán như vậy không thể được biểu diễn, người ta phải đứng trên đầu của một người. Ví dụ trong 2, lệnh thứ hai gõ lambda, chỉ các hàm đệ quy một phần không thể được biểu diễn là tổng, nhưng không thể chứng minh được trong phân tích toán học (số học bậc hai).

Tôi quen thuộc với hầu hết các khái niệm này, nhưng không phải là khái niệm về hàm đệ quy một phần, cũng không phải là khái niệm về hàm tổng có thể chứng minh được. Tuy nhiên, đây không phải là điều tôi quan tâm khi học.

Tôi đang tìm kiếm một lời giải thích đơn giản về lý do tại sao một số chức năng tính toán nhất định không thể được biểu thị bằng một thuật ngữ đánh máy, cũng như lý do tại sao các chức năng đó chỉ có thể được tìm thấy 'bằng cách đứng trên đầu của một người.'

Cho rằng bạn không muốn tìm hiểu các khái niệm chính xác, đây là một lời giải thích trực quan. Trong phần thảo luận bên dưới, "hàm" luôn đề cập đến một hàm ánh xạ các số tự nhiên thành số tự nhiên (có thể không xác định tại một số đối số).

Bất kỳ ngôn ngữ lập trình nào có

1. cú pháp tính toán và quy tắc đánh giá, và
2. thực hiện mọi chức năng tính toán tổng

nhất thiết phải thực hiện một số chức năng một phần .

Để thấy điều này, giả sử đó là trường hợp mà mọi chức năng có thể xác định trong ngôn ngữ này là tổng số. Vì ngôn ngữ có cú pháp tính toán, chúng tôi có thể liệt kê tất cả các định nghĩa về hàm (chỉ cần liệt kê tất cả các chuỗi và lọc ra các chuỗi gây ra lỗi cú pháp). Bởi vì các quy tắc đánh giá là có thể tính toán được, giả định thứ hai cho phép chúng ta kết luận rằng trong ngôn ngữ của chúng ta, chúng ta có thể định nghĩa hàm tổng eval(n,m)thể đánh giá nhàm có thể xác định thứ trên m(về cơ bản đây là một trình thông dịch mini được viết bằng chính ngôn ngữ). Nhưng sau đó là chức năng

λ k . (1 + eval(k,k))

là một hàm tổng có thể xác định khác với mọi hàm tổng có thể xác định, một mâu thuẫn.

$\lambda$

$\lambda$$\lambda$eval

$\lambda$

$\lambda$$\mathbb{N}$$\mathbb{N}\cup\{\bot\}$$\lambda$$t$$n$$\bot$$t\ n$$\bot$$T$$t$$t$$t$$n$

$T$$T$$t$$T$$T$

Bây giờ vấn đề là chương trình đại đa số mà chúng tôi mong muốn viết (sắp xếp danh sách, duyệt đồ thị, hệ điều hành) không chỉ là các hàm tổng, mà còn có thể chứng minh được tổng số trong các hệ thống logic hợp lý, như Số học Peano.

$\lambda$

Điều này có nghĩa bởi những giải thích ở trên rằng có những thuật ngữ có tổng số nhưng không thể chứng minh được, nhưng các hàm như vậy là cực kỳ hiếm, vì chúng rất hiếm đối với Số học Peano (và rất hiếm trong lý thuyết bậc hai). Do đó tuyên bố "đứng trên đầu của bạn".

Tôi thấy hơi khó để viết chính xác bằng chứng, nhưng tôi hy vọng lời giải thích này cung cấp cho bạn đủ trực giác để xem tại sao các thuật ngữ gõ đơn giản có thể đại diện cho tất cả các thuật ngữ chưa được gõ.

$\beta$$f :: \alpha \rightarrow \beta \rightarrow \gamma$$\alpha$$\beta$$\beta \rightarrow \gamma$$\beta$

$Y$

$Y = λf.(λx.f\; (x\; x))\; (λx.f\;(x\;x))$

Khi chúng tôi cố gắng giảm -combinator, điều sau đây xảy ra:$Y$

( λ x .

Bất kể chức năng nào chúng ta vượt qua, chúng ta bị mắc kẹt trong một chuỗi giảm vô hạn! Nếu chúng tôi cố gắng ghim một loại STLC trên UTLC -combinator , chúng tôi sẽ nhanh chóng thấy điều này là không thể, vì ứng dụng chức năng không thu nhỏ loại như yêu cầu trong STLC. Các -combinator rõ ràng là tính toán (nó đại diện, sử dụng đệ quy, các khái niệm về một vòng lặp vô hạn), nhưng nó không thể được đại diện trong STLC, như tất cả các điều khoản STLC là mạnh bình thường.$Y$$Y$