Mạch sâu-2 với cổng OR và MOD không phổ biến?

Điều nổi tiếng là mọi hàm boolean đều có thể được nhận ra bằng cách sử dụng mạch boolean có độ sâu 2 (qua các biến, giá trị phủ định và giá trị không đổi) có chứa cổng AND trong lần đầu tiên cấp độ và một cổng OR duy nhất ở cấp trên; đây đơn giản là đại diện DNF của . $f:\{0,1\}^n\to \{0,1\}$ $f$

Một loại cổng khác rất được quan tâm về độ phức tạp của mạch là cổng . Định nghĩa thông thường là như sau: $MOD_m$

{M O D}_{m} (x_{1}, \dots, x_{k}) = {\begin{cases} 1 & if \sum x_{i} \equiv 0 \mod m \\ 0 & if \sum x_{i} ≢ 0 \mod m \end{cases}

$\mathrm{MOD}_m(x_1,\dots,x_k)=\cases{ 1 & if $\sum x_i \equiv 0 \mod m$ \\ 0 & if $\sum x_i \not\equiv 0 \mod m$ \\ }$

Những cánh cổng này đôi khi có sức mạnh đáng ngạc nhiên; ví dụ, bất kỳ hàm boolean nào cũng có thể được biểu diễn bằng mạch độ sâu 2 chỉ có (đây là văn hóa dân gian nhưng tôi có thể giải thích là có ai đó quan tâm). $\mathrm{MOD}_6$

Tuy nhiên, một truyền thuyết dân gian khác là các mạch có một cổng OR duy nhất ở trên cùng và ở lớp dưới cùng (với được cố định một lần và mãi mãi, và đặc biệt là giống nhau cho tất cả các cổng) là không phổ biến, tức là với bất kỳ giá trị nào của , có các hàm boolean không thể được tính bằng mạch . $\mathrm{MOD}_m$ $m$ $m$ $\mathrm{OR} \circ \mathrm{MOD}_m$

Tôi đang tìm kiếm một bằng chứng cho tuyên bố này, hoặc ít nhất là một số hướng.

complexity-theory logic circuits

— Gadi A
nguồn

Trong đoạn đầu tiên, bạn cần cổng KHÔNG hoặc bạn phải nói Rằng mỗi hàm Boolean đơn điệu .

— Tsuyoshi Ito

Bạn nói đúng; giả định thông thường là bạn có đầu vào là các biến, phủ định của chúng và cả các giá trị tùy ý (quan trọng đối với các biến thể). Tôi sẽ viết điều này rõ ràng.

— Gadi A

Tôi đoán rằng

, số lượng biến đầu vào, khác với

, mô đun?

n

$n$

n

$n$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

Vâng, xin lỗi về điều đó.

— Gadi A

Tôi quan tâm đến điều này. Bạn có biết một số tài liệu tham khảo cho thực tế dân gian đầu tiên? Tôi tự hỏi, nếu trong lớp sau của mạch bạn chỉ cho phép một OR, thì bạn cho phép bao nhiêu cái trước?

— Juan Bermejo Vega

$\text{OR} \circ \text{MOD}$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
nguồn

Không, anh ấy đúng. Giả định ngầm định ở đây là n là hằng số và chúng ta sẽ có thể xử lý một số lượng lớn đầu vào tùy ý với các cổng mod_n.

— Gadi A

@GadiA À, ok. Điều này không rõ ràng trong câu hỏi của bạn, ít nhất là với những người không quen thuộc với lĩnh vực này. Tôi đã thực hiện một chỉnh sửa nhỏ để làm rõ điều này.

— Gilles 'SO- đừng trở nên xấu xa'

Vâng, câu hỏi của tôi rất tệ, xin lỗi.

— Gadi A

@Gilles Bạn có thể giải thích cho tôi những gì người hâm mộ ở đây chúng tôi xem xét? Vấn đề đối với tôi là tôi không thể hiểu tại sao subcircuit của MOD không thể tính toán VÀ? Có bao nhiêu đầu vào có MOD này và AND này?