Số lượng clique trong đồ thị ngẫu nhiên

Có một họ đồ thị ngẫu nhiên với nút ( do Gilbert ). Mỗi cạnh có thể được chèn độc lập vào với xác suất . Đặt là số lượng các nhóm có kích thước trong . $G(n, p)$ $n$ $G(n, p)$ $p$ $X_k$ $k$ $G(n, p)$

Tôi biết rằng $\mathbb{E}(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$ , nhưng làm cách nào để chứng minh điều đó?

Làm cách nào để hiển thị rằng $\mathbb{E}(X_{\log_2n})\ge1$ cho $n\to\infty$ ? Và làm thế nào để chỉ ra rằng $\mathbb{E}(X_{c\cdot\log_2n}) \to 0$ cho $n\to\infty$ và hằng số cố định, tùy ý $c>1$ ?

— người dùng1374864
nguồn

Vì vậy, về cơ bản có ba câu hỏi liên quan.

Tôi biết rằng $E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$ , nhưng làm cách nào để chứng minh điều đó?

Bạn sử dụng tính tuyến tính của kỳ vọng và một số cách viết lại thông minh. Trước hết, lưu ý rằng Bây giờ, khi lấy kỳ vọng của , người ta có thể rút ra tổng (do tính tuyến tính) và thu được Bằng cách rút ra tổng, chúng tôi đã loại bỏ tất cả các phụ thuộc có thể có giữa các tập hợp con của các nút. Do đó, xác suất mà là một cụm là gì? Chà, bất kể bao gồm những gì , tất cả các xác suất cạnh đều như nhau. Do đó,

X_{k} = \sum_{T \subseteq V, | T | = k} 1 [T is clique] .

$X_k = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathbb{1}[T \text{ is clique}].$

X_{k}

$X_k$

E (X_{k}) = \sum_{T \subseteq V, | T | = k} E (1 [T is clique]) = \sum_{T \subseteq V, | T | = k} P r [T is clique]

$\mathrm{E}(X_k) = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathrm{E}(\mathbb{1}[T \text{ is clique}]) = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathrm{Pr}[T \text{ is clique}]$

T

$T$

T

$T$

P r [T is clique] = p^{(\binom{k}{2})}

$\mathrm{Pr}[T \text{ is clique}] = p^{k \choose 2}$ , vì tất cả các cạnh trong biểu đồ con này phải có mặt. Và sau đó, thuật ngữ bên trong của tổng không phụ thuộc vào nữa, để lại cho chúng tôi .

T

$T$

E (X_{k}) = p^{(\binom{k}{2})} \sum_{T \subseteq V, | T | = k} 1 = (\binom{n}{k}) \cdot p^{(\binom{k}{2})}

$\mathrm{E}(X_k) = p^{k \choose 2} \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} 1 = {n \choose k} \cdot p^{k \choose 2}$

Cách hiển thị cho : $n\rightarrow\infty$ $E(X_{\log_2n})\ge1$

Tôi không hoàn toàn chắc chắn liệu điều này thậm chí còn đúng. Áp dụng một ràng buộc trên hệ số nhị thức, chúng tôi thu được

E (X_{\log n}) = (\binom{n}{\log n}) \cdot p^{(\binom{\log n}{2})} \leq {(\frac{n e p^{\frac{(\log n)}{4}}}{\log n})}^{\log n} = {(\frac{n e \cdot n^{(\log p) / 4}}{\log n})}^{\log n} .

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log n} \cdot p^{\log n \choose 2} \leq \left(\frac{n e p^\frac{(\log n)}{4}}{\log n}\right)^{\log n} = \left(\frac{ne \cdot n^{(\log p) / 4}}{\log n}\right)^{\log n}.$ (Lưu ý rằng tôi gần như giới hạn trên bởi .) Tuy nhiên, bây giờ người ta có thể chọn và có được điều đó , làm cho toàn bộ thuật ngữ về đối với lớn . Bạn có thể thiếu một số giả định trên ?

p^{\frac{- 1 + \log n}{2}}

$p^\frac{-1 + \log n}{2}$

p^{\frac{\log n}{4}}

$p^\frac{\log n}{4}$

p = 0.001

$p = 0.001$

\log_{2} 0.001 \approx - 9.96

$\log_2 0.001 \approx -9.96$

0

$0$

n

$n$

p

$p$

— HdM
nguồn

Có đúng không? . Nó không phải là nhưng bây giờ tôi không biết làm thế nào để tiếp tục

E (X_{\log n}) = (\binom{n}{\log n}) \cdot p^{(\binom{\log n}{2})} \leq {(\frac{n e p^{\frac{(\log n)}{4}}}{\log n})}^{\log n}

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log n} \cdot p^{\log n \choose 2} \leq \left(\frac{n e p^\frac{(\log n)}{4}}{\log n}\right)^{\log n}$

E (X_{\log n}) = (\binom{n}{\log_{2} n}) \cdot p^{(\binom{\log_{2} n}{2})} \leq {(\frac{n e}{\log_{2} n})}^{\log n} \cdot p^{\frac{(\log_{2} (n) \cdot e)^{2}}{4}}

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log_2 n} \cdot p^{\log_2 n \choose 2} \leq \left(\frac{n e}{\log_2 n}\right)^{\log n}\cdot p^\frac{(\log_2 (n)\cdot e)^2}{4}$

— user1374864

Tôi chỉ áp dụng ràng buộc nói trên . Đối với , bạn có thể quan sát rằng . Bây giờ kể từ , chúng tôi muốn làm cho số mũ của nó nhỏ hơn (tự thuyết phục tại sao). Đối với lớn , chúng ta có . Do đó, tính toán trên phải chính xác ...

(\binom{n}{\log n})

${n \choose \log n}$

p

$p$

(\binom{\log n}{2}) = (\log n) (\log n - 1) / 2

${\log n \choose 2} = (\log n) (\log n -1)/2$

p \leq 1

$p \leq 1$

n

$n$

(\log n) (\log n - 1) / 2 > (\log n)^{2} / 4

$(\log n) (\log n -1)/2 > (\log n)^2 / 4$

— HdM

Câu hỏi thứ ba là gì?

— Xếp hàng

Nó bị vấn đề tương tự như câu hỏi thứ hai. Xin lỗi, tôi nên đã làm rõ điều đó.

— HdM

Số lượng clique trong đồ thị ngẫu nhiên

Tôi biết rằng E(Xk)=(nk)⋅p(k2)E(Xk)=(nk)⋅p(k2)E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}} , nhưng làm cách nào để chứng minh điều đó?

Cách hiển thị cho :n→∞n→∞n\rightarrow\inftyE(Xlog2n)≥1E(Xlog2⁡n)≥1E(X_{\log_2n})\ge1

Tôi biết rằng $E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$ , nhưng làm cách nào để chứng minh điều đó?

Cách hiển thị cho : $n\rightarrow\infty$ $E(X_{\log_2n})\ge1$