Một quine trong tính toán lambda tinh khiết

Tôi muốn một ví dụ về một quine trong phép tính lambda thuần túy . Tôi đã khá ngạc nhiên khi tôi không thể tìm thấy một người bằng cách googling. Trang quine liệt kê các câu hỏi cho nhiều ngôn ngữ "thực", nhưng không phải cho phép tính lambda.

Tất nhiên, điều này có nghĩa là xác định những gì tôi có nghĩa là một quine trong phép tính lambda, mà tôi làm dưới đây. (Tôi đang yêu cầu một cái gì đó khá cụ thể.)

Ở một vài nơi, ví dụ như Larkin và cổ phiếu (2004), tôi thấy sau đây được trích dẫn như một khái niệm "tự sao chép": $(\lambda x.x \; x)\;(\lambda x.x \; x)$ . Điều này tự giảm đi sau một bước giảm beta duy nhất, mang lại cảm giác giống như bằng cách nào đó. Tuy nhiên, nó không giống như ở chỗ nó không chấm dứt: việc giảm beta tiếp tục sẽ tiếp tục tạo ra cùng một biểu thức, vì vậy nó sẽ không bao giờ giảm xuống dạng bình thường. Đối với tôi, quine là một chương trình chấm dứt và tự xuất ra, và vì vậy tôi muốn một biểu thức lambda với thuộc tính đó.

Tất nhiên, bất kỳ biểu thức nào không chứa redexes đều ở dạng bình thường, và do đó sẽ tự chấm dứt và xuất ra. Nhưng điều đó quá tầm thường. Vì vậy, tôi đề xuất định nghĩa sau với hy vọng rằng nó sẽ thừa nhận một giải pháp không tầm thường:

định nghĩa (dự kiến): Một quine trong phép tính lambda là một biểu thức có dạng

Cho rằng phép tính lambda tương đương với Turing như bất kỳ ngôn ngữ nào khác, có vẻ như điều này là có thể, nhưng phép tính lambda của tôi bị gỉ, vì vậy tôi không thể nghĩ ra một ví dụ.

Tài liệu tham khảo

James Larkin và Phil Stocks. (2004) "Các biểu thức tự sao chép trong phép tính Lambda" Các hội thảo về nghiên cứu và thực hành trong công nghệ thông tin, 26 (1), 167-173. http://epublications.bond.edu.au/infotech_pub/158

Bạn muốn có một hạn như vậy ∀ M ∈ bước sóng :$Q$$\forall M \in \Lambda$

Tôi sẽ chỉ định không hạn chế thêm đối với (ví dụ về hình thức của nó và liệu nó có bình thường hóa không) và tôi sẽ cho bạn thấy rằng nó chắc chắn phải không bình thường hóa.$Q$

1. Giả sử là trong hình thức bình thường. Chọn M ≡ x (chúng ta có thể làm như vậy vì định lý cần giữ cho tất cả M ). Sau đó, có ba trường hợp.$Q$$M \equiv x$$M$

   • là một số nguyên tử a . Khi đó Q M ≡ a x . Điều này không thể giảm đến a .$Q$$a$$QM \equiv ax$$a$
   • là một số ứng dụng ( R S ) . Sau đó, Q M ≡ ( R S ) x . ( R S ) là một dạng bình thường theo giả thuyết, vì vậy ( R S ) x cũng ở dạng bình thường và không thể rút gọn thành ( R S ) .$Q$$(RS)$$QM \equiv (RS)x$$(RS)$$(RS)x$$(RS)$
   • là một số trừu tượng ( λ x . Một ) (nếu x là nghĩa vụ phải được tự do trong một , sau đó vì đơn giản chúng ta chỉ có thể chọn M tương đương với bất cứ điều gì biến λ tóm tắt trên). Sau đó, Q M ≡ ( λ x . Một ) x ⊳ beta Một [ x / x ] ≡ Một . Kể từ ( λ x . Một ) là ở dạng bình thường, như vậy là$Q$$(\lambda x.A)$$x$$A$$M$$\lambda$$QM \equiv (\lambda x.A)x \rhd_\beta A[x/x] \equiv A$$(\lambda x.A)$$A$. Do đó, chúng ta không thể giảm xuống ( λ x . A ) .$A$$(\lambda x.A)$

   Vì vậy, nếu như vậy tồn tại, nó không thể ở dạng bình thường.$Q$

2. Để hoàn chỉnh, giả sử có một hình thức bình thường, nhưng không phải là trong hình thức bình thường (có lẽ đó là bình thường hóa một cách yếu ớt), tức là ∃ N ∈ beta -nf với N ≢ Q như vậy ∀ M ∈ bước sóng : Q M ⊳ beta Q ⊳ beta$Q$ $\exists N \in \beta\text{-nf}$$N \not\equiv Q$$\forall M \in \Lambda$

   $$QM \rhd_\beta Q \rhd_\beta N$$

   Sau đó, với cũng phải tồn tại một chuỗi giảm Q x ⊳ beta N x ⊳ beta N , bởi vì:$M \equiv x$$Qx \rhd_\beta Nx \rhd_\beta N$

   • có thể bởi thực tế là Q ⊳ beta N .$Qx \rhd_\beta Nx$$Q \rhd_\beta N$
   • phải bình thường kể từ khi N là một β -nf và x là chỉ một nguyên tử.$Nx$$N$$\beta$$x$
   • Nếu là để bình thường hóa đến bất cứ điều gì khác hơn là N , sau đó Q x có hai β -nfs, đó là không thể thực hiện bởi một hệ quả tất yếu để định lý Giáo-Rosser. (Định lý Church-Rosser về cơ bản nói rằng các mức giảm là hợp lưu, như bạn có thể đã biết.)$Nx$$N$$Qx$$\beta$

   Nhưng lưu ý rằng là không thể bởi lý luận (1) ở trên, vì vậy giả thiết rằng Q có một hình thức bình thường là không đứng vững được.$Nx \rhd_\beta N$$Q$

3. Nếu chúng tôi cho phép một như vậy , thì chúng tôi chắc chắn rằng nó phải không bình thường hóa. Trong trường hợp đó, chúng ta chỉ cần sử dụng một tổ hợp loại bỏ mọi đối số mà nó nhận được. Đề nghị Denis của làm việc tốt: Q ≡ ( λ z . ( Λ x . Λ z . ( X x ) ) ( λ x . Λ z . ( X x ) ) ) Sau đó, trong chỉ có hai β -reductions: Q $Q$

   $$Q \equiv (\lambda z.(λx.λz.(x x)) (λx.λz.(x x)))$$ $\beta$ $$\begin{align} QM &\equiv (\lambda z.(λx.λz.(x x)) (λx.λz.(x x))) M \\ & \rhd_{1\beta} (λx.λz.(x x)) (λx.λz.(x x)) \\ & \rhd_{1\beta} (λz.((λx.λz.(x x))(λx.λz.(x x))) \\ & \equiv Q \end{align}$$

Kết quả này không đáng ngạc nhiên lắm, vì về cơ bản bạn đang yêu cầu một thuật ngữ loại bỏ bất kỳ đối số nào nó nhận được, và đây là điều tôi thường thấy được đề cập như một ứng dụng trực tiếp của định lý điểm cố định.

Một mặt điều này là không thể, bởi vì một quine được cho là xuất mã riêng của nó và phép tính lambda thuần túy không có phương tiện để thực hiện đầu ra.

Mặt khác, nếu bạn cho rằng thuật ngữ kết quả là đầu ra, thì mọi hình thức bình thường là một quine.

$(\lambda x. x)$$(\lambda x. x)$$(\lambda x. x)$

Đây là một đề xuất:

$A$$f=\lambda t. (\lambda z.t)$

Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các combinator fixpoint $Y=\lambda g.((\lambda x.g\ (x\ x))\ (\lambda x.g\ (x\ x)))$$A=Y f=(\lambda x.\lambda z.(x\ x))\ (\lambda x.\lambda z.(x\ x))$

$A$$A$$\lambda z.A$$y$$(\lambda z.A)y \to_\beta A \to_\beta (\lambda z.A)$