Tại sao MillerTHER Rabin thay vì thử nghiệm nguyên thủy Fermat?

Từ bằng chứng của Miller-Rabin , nếu một số vượt qua bài kiểm tra nguyên thủy Fermat , thì nó cũng phải vượt qua bài kiểm tra Miller-Rabin với cùng một cơ sở (một biến trong chứng minh). Và độ phức tạp tính toán là như nhau.$a$

Sau đây là từ bài kiểm tra tính nguyên thủy của Fermat :

Trong khi số Carmichael là hiếm đáng kể so với số nguyên tố, 1 có đủ của họ rằng kiểm tra tính nguyên tố Fermat thường không được sử dụng trong các hình thức trên. Thay vào đó, các phần mở rộng mạnh mẽ khác của thử nghiệm Fermat, như Baillie-PSW, Miller-Rabin và Solovay-Strassen thường được sử dụng hơn.

Lợi ích của Miller-Rabin là gì và tại sao nó được cho là mạnh hơn thử nghiệm nguyên thủy Fermat?

Thuật toán Rabin-Miller cũng kiểm tra, đưa ra một số , cho dù có gốc không tầm thường của Unity.Z $n$$Z_n$

Các số Carmichael vượt qua bài kiểm tra Fermat (cho mọi cơ sở ), nhưng với mỗi số Carmichael , tồn tại nhiều số sao cho phép kiểm tra các gốc đơn vị thất bại trên (đó là chuỗi cuối cùng sẽ hiển thị một gốc rễ không thống nhất).n a a a , 2 a , . . . , 2 r$a$$n$$a$$a$$a,2a,...,2^ra$

Vì vậy, chúng tôi có những điều sau đây:

Đối với thử nghiệm của Fermat, nếu số hỗn hợp không phải là Carmichael, thì xác suất thử nghiệm sẽ phát hiện ra độ phức tạp ít nhất là . Tuy nhiên, bài kiểm tra sẽ thất bại trong tất cả các số của Carmichael.1 /$n$$1/2$

Đối với thử nghiệm Rabin-Miller, mọi số tổng hợp sẽ được phát hiện với xác suất ít nhất là . Điều này có nghĩa là xác suất chính xác không phụ thuộc vào đầu vào (không có đầu vào "cứng"). Đây là những gì làm cho thuật toán này mạnh hơn.$1/2$

Tôi tin rằng tuyên bố của bạn là trái ngược với những gì xảy ra. Vượt qua thử nghiệm Miller-Rabin cho một cơ sở nhất định có nghĩa là nó sẽ vượt qua thử nghiệm Fermat cho cùng một cơ sở. Ngược lại, có nhiều vật liệu tổng hợp sẽ vượt qua bài kiểm tra Fermat cho một cơ sở nhất định nhưng sẽ thất bại trong bài kiểm tra Miller-Rabin cho cùng một cơ sở.

Xem, ví dụ, bài viết của Pomerance / Selfridge / Wagstaff trong trang Wikipedia Miller-Rabin:

https://math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/apers25.pdf

trong đó chúng ta thấy một sơ đồ ở trang 2 cho thấy các giả danh Euler là một tập hợp con của các giả danh Fermat, và các giả ngẫu nhiên mạnh là một tập hợp con của các giả. Do đó, thử nghiệm Solovay-Strassen khó hơn so với thử nghiệm Fermat và thử nghiệm Miller-Rabin hơn cả. Cả hai đều tránh được vấn đề quan trọng của các số Carmichael. Chúng có hiệu năng cơ bản giống nhau, vì vậy chúng tôi thích sử dụng thử nghiệm Miller-Rabin.

Rõ ràng là Miller-Rabin tốt hơn Fermat.

$a^{p-1}$

$a^{p-1}$$p-1 = s·2^k$$a^s$$a^{p-1}$

Một lần nữa, nếu kết quả không phải là 1 (modulo p) thì p là hợp số. Nhưng nếu kết quả là 1 modulo p, thì chúng tôi kiểm tra xem chúng tôi có được 1 bằng cách bình phương một kết quả trung gian không phải là +1 hoặc -1 hay không, và trong trường hợp đó x cũng được chứng minh là hợp số.

Vì vậy, chúng tôi thực hiện chính xác cùng một lượng công việc, nhưng có nhiều cách hơn để chứng minh rằng x là hợp số.