NP-Hoàn thành của một vấn đề tô màu đồ thị

Công thức thay thế

Tôi đã đưa ra một công thức thay thế cho vấn đề dưới đây. Công thức thay thế thực sự là một trường hợp đặc biệt của vấn đề dưới đây và sử dụng các biểu đồ lưỡng cực để mô tả vấn đề. Tuy nhiên, tôi tin rằng công thức thay thế vẫn là NP-hard. Công thức thay thế sử dụng một tập hợp các nút đến và đi khác nhau để đơn giản hóa định nghĩa vấn đề.

Cho nút gửi đi và nút đến (các nút màu đỏ và màu xanh lam trong hình tương ứng) và một tập hợp có kích thước của trọng số cạnh giữa các đỉnh đi và tới. Mục tiêu của vấn đề là tô màu các cạnh dày trong hình để cho mỗi nút đến, một điều kiện được giữ.n w i j n × $n$$n$$w_{ij}$$n \times n$

Cho một bộ của các đỉnh đầu ra, một bộ của các đỉnh đầu vào, trọng số giữa và 'cho và hằng số dương , tìm số lượng màu tối thiểu cho các cạnh (các cạnh dày trong hình trên) sao cho tất cả ,{ Tôi $\{ O_i \; | \; i=1 \dots n \}$n × n w i j ≥ 0 O i tôi j i , j = 1 ... n β e i i j = 1 ... $\{ I_i\; | \; i=1 \dots n \}$$n \times n$$w_{ij} \ge 0$$O_i$$I_j$$i,j=1 \dots n$$\beta$$e_{ii}$$j=1 \dots n$

$$\frac{w_{jj}}{1+\sum_{c(i)=c(j),i \neq j} w_{ij}} \ge \beta$$

trong đó hiển thị màu của cạnh .e i $c(i)$$e_{ii}$

Công thức cũ

Vấn đề sau đây có vẻ khó đối với tôi, nhưng tôi không thể chỉ ra. Bất kỳ bằng chứng / nhận xét để cho thấy độ cứng hoặc dễ dàng của nó được đánh giá cao.

Giả sử là một đồ thị có hướng hoàn toàn có trọng số với nút và . Để hiển thị trọng số của cạnh và hiển thị màu của cạnh . Cho một tập hợp con của các cạnh và hằng số dương , mục tiêu là: tìm số lượng màu tối thiểu sao cho mỗi :n n ( n - 1 ) w i j ≥ 0 i j c ( i j ) i j T ⊆ E β e i j ∈ $K_n=\langle V,E \rangle$$n$$n(n-1)$$w_{ij} \ge 0$$ij$$c(ij)$$ij$$T \subseteq E$$\beta$$e_{ij} \in T$

c(ij)≠c(ik

$$\frac{w_{ij}}{1+\sum_{c(kl)=c(ij),kl \neq ij} w_{kj}} \ge \beta.$$ và $$c(ij) \neq c(ik) \quad for \quad j \neq k$$

Xin lưu ý rằng trong vấn đề trên, chỉ các cạnh trong cần được tô màu. Đó là vấn đề có thể được giải quyết trong .O ( | T | ! $T$$\mathcal{O}(|T|!)$

Cập nhật:

Sau khi nhận xét của Tsuyoshi, tôi đã cập nhật vấn đề. Mẫu số được thay đổi từ thành . Do đó, mẫu số chứa các trọng bên ngoài là tốt. Đó thực sự là lý do tại sao tôi đề cập đến biểu đồ hoàn chỉnh trong định nghĩa. 1 + ∑ c ( k l ) = c ( i j ) , k l ≠ i j w k j$1+\sum_{c(kj)=c(ij),k \neq i,e_{kj} \in T} w_{kj}$$1+\sum_{c(kl)=c(ij),kl \neq ij} w_{kj}$$T$

Tôi cũng đã thêm một ràng buộc bổ sung . Điều đó có nghĩa là, các cạnh đi từ một nút phải có các màu khác nhau (nhưng các màu đến có thể giống như miễn là giữ bất đẳng thức). Điều này khiến một trực giác thấp hơn bị ràng buộc về số lượng màu sắc, đó là mức độ ngoài tối đa các nút trong .$c(ij) \neq c(ik) \quad for \quad j \neq k$$T$

Như Tsuyoshi đã đề cập, 's, và là đầu vào cho vấn đề và màu sắc cạnh là đầu ra. T $w_{ij}$$T$$\beta$

Cập nhật 2:

Vấn đề không thực thi các cạnh và có cùng màu. e j $e_{ij}$$e_{ji}$

Nó khá đơn giản để chỉ ra rằng công thức thay thế là NP-hard. Việc giảm là từ vấn đề tô màu đỉnh. Cho một đồ thị G có đỉnh, chúng ta tạo một thể hiện của vấn đề trên với đỉnh đầu ra và đỉnh đầu vào. Các trọng số được đặt như sau: Đối với tất cả , hãy . Đối với , nếu có một cạnh giữa đỉnh và đỉnh , hãy , nếu không hãy để . Ngoài ra, hãy để .n n i w i i = 1 i ≠ j i j w i j = w j i = 1 w i j = w j i = 0 β = $n$$n$$n$$i$$w_{ii}=1$$i \neq j$$i$$j$$w_{ij}=w_{ji}=1$$w_{ij}=w_{ji}=0$$\beta=1$

Điều này khá rõ ràng nhưng khó mô tả tại sao việc giảm là chính xác. Hãy để hiển thị thể hiện của màu đồ thị và hiển thị trường hợp giảm của vấn đề. Để hiển thị mức giảm trên cung cấp một giải pháp chính xác, chúng ta cần chỉ ra rằng (1) mọi màu tô hợp lệ cho cũng hợp lệ cho . (2) câu trả lời được đưa ra bởi là tối thiểu cho .R R C R $\mathcal{C}$$\mathcal{R}$$\mathcal{R}$$\mathcal{C}$$\mathcal{R}$$\mathcal{C}$

Nếu và là hai đỉnh liền kề của , thì chúng phải có các màu khác nhau trong . Đó là bởi vì nếu và liền kề nhau và chúng có cùng màu, thì phân số sẽ dẫn đến , trong đó có giá trị dương. Do đó, điều kiện không giữ được. Ngoài ra, mỗi màu hợp lệ (nhưng không nhất thiết là tối thiểu) cho , cũng là màu hợp lệ cho . Nó tuân theo thực tế là trong một màu hợp lệ củaj C R i j w j $i$$j$$\mathcal{C}$$\mathcal{R}$$i$$j$$\frac{w_{jj}}{1+\sum_{c(i)=c(j),i \neq j} w_{ij}}$ XCRCRCRRC$\frac{1}{1+X}$$X$$\mathcal{C}$$\mathcal{R}$$\mathcal{C}$, mỗi cặp nút liền kề có màu khác nhau, do đó điều kiện giữ cho tất cả các cạnh được tô màu của trong giải pháp. Vì mỗi màu của là màu hợp lệ cho , giải pháp tối thiểu cho cũng phải là một giải pháp tối thiểu cho . Mặt khác, nó không phải là tối thiểu vì giải pháp cho đưa ra một giải pháp có số lượng màu nhỏ hơn.$\mathcal{R}$$\mathcal{C}$$\mathcal{R}$$\mathcal{R}$$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$

EDIT : Việc xây dựng bên dưới không hoàn toàn hiệu quả, theo nhận xét của Tsuyoshi bên dưới, nó không thực thi rằng$c(ij)=c(ji)$$T$$0$

$G=(V,E)$$D=(V,A)$$\forall uv\in E$$(u,v)$$(v,u)$$A$$a \in A$$w_{a} = 1$$\forall xy \notin E$$(x,y)$$(y,x)$$A$$w_{xy}=w_{yx}=0$$\beta$$1$$T=A$

$0$

$k$$NP$

$NP$