Ngôi sao Kleene của một ngôn ngữ đơn phương vô hạn luôn mang lại một ngôn ngữ thông thường

Đặt , trong đó và cho tất cả .$L = \{a^n \mid n \ge 0\}$$a^0 = \epsilon$$a^n = a^{n-1}a$$n \ge 1$

Do đó bao gồm các chuỗi độ dài bằng a, bao gồm chuỗi có độ dài . Hãy được bất kỳ tập con vô hạn của . Tôi cần chỉ ra rằng luôn tồn tại một DFA để nhận ra .$L$$a$$0$$L_2$$L$$L_2^*$

Nếu là tập con hữu hạn thì điều đó rất rõ ràng vì sẽ là DFA và do đó, đóng cửa Kleene sẽ được DFA công nhận. Nhưng tôi không thể lấy nó cho tập hợp con vô hạn vì có thể không được biểu thị dưới dạng DFA khi, ví dụ: độ dài chuỗi là số nguyên tố.$L_2$$L_2$$L_2^*$$L_2$

Giả sử có hai từ trong ngôn ngữ có độ dài tương đối nguyên tố. Đặt các độ dài này là và . Chúng tôi biết (xem điều này ) rằng bằng cách thêm các số này với nhau nhiều lần, chúng tôi có thể nhận được bất kỳ số nào lớn hơn . Vì vậy, nếu và là và , chúng ta có thể viết bất kỳ số nào lớn hơn dưới dạng kết hợp tuyến tính của và . Điều này có ý nghĩa gì với chúng tôi: bao gồm một số ngôn ngữ hữu hạn tùy ý (thông thường, như tất cả các ngôn ngữ hữu hạn), kết hợp với ngôn ngữ$x$$y$$(x - 1)(y - 1) - 1$$x$$y$$13$$7$$72$$7$$13$$L_2^*$$\{w \in a^* \mid |a| > (x-1)(y-1)-1\}$. Ngôn ngữ này là thường xuyên vì nó là ngôn ngữ của tất cả các từ với một tập hợp các từ hữu hạn được loại bỏ. Vì là sự kết hợp của các ngôn ngữ thông thường, nên nó cũng phải thường xuyên.$L_2^*$

Nếu tất cả các từ trong có độ dài chia sẻ một yếu tố chung lớn nhất (gọi hệ số chung này là ), thì lặp lại đối số trên, nhưng thay vì sử dụng độ dài chuỗi, hãy sử dụng độ dài chuỗi chia cho . Trong trường hợp này, sẽ là sự kết hợp của một ngôn ngữ hữu hạn tùy ý (thông thường) và ngôn ngữ , cũng đều đặn (vì $ (a ^ m) ^ * là thường xuyên và chúng tôi đang loại bỏ rất nhiều từ khỏi nó).$L_2^*$$m$$m$$L_2^*$$\{w \in (a^m)^* \mid |w| > m^2[(x/m - 1)(y/m - 1) - 1]\}$

Ví dụ: giả sử tất cả các từ trong có GCF là 2 và ngôn ngữ chứa các từ và . Ta có , và , tương đối nguyên tố. Do đó, chúng tôi biết rằng chúng tôi có thể nhận được bất kỳ từ nào có độ dài là bội của nếu độ dài lớn hơn bằng cách ghép và .$L$$a^4$$a^{10}$$m = 2$$x/m = 4/2 = 2$$y/m = 10/2 = 5$$m$a 4 a $m^2[(x/m - 1)(y/m - 1) - 1] = 2^2[(2 - 1)(5 - 1) - 1] = (4)(3) = 12$$a^4$$a^{10}$