Làm cách nào để kiểm tra xem một đa giác có đơn điệu đối với một đường tùy ý không?

Định nghĩa : Một đa giác $P$ trong mặt phẳng được gọi là đơn điệu đối với đường thẳng $L$ , nếu mọi đường thẳng trực giao với $L$ cắt $P$ nhiều nhất hai lần.

Cho đa giác $P$ , có thể xác định xem có tồn tại bất kỳ dòng $L$ nào để đa giác $P$ đơn điệu đối với $L$ không? Nếu có, làm thế nào?

Trước đây, tôi hỏi một câu hỏi liên quan (nơi tôi hỏi làm thế nào để xác định xem một đa giác là đơn điệu đối với một dòng cụ thể với), nhưng bây giờ tôi đang quan tâm đến trường hợp khi $L$ là không nhất định hoặc quy định trước.

algorithms computational-geometry

— com
nguồn

Tại sao không chỉ xoay / dịch chuyển hệ tọa độ sao cho

L

$L$ trở thành

x

$x$ -axis và sau đó chạy lại thuật toán cũ? Công việc bổ sung phải được quản lý trong

O (1)

$\mathcal{O}(1)$ .

— HdM

@HdM: Dòng L không được đưa ra như một phần của đầu vào.

— Tsuyoshi Ito

Điều đó là có thể.

Xem xét bạn đa giác và xem xét các đỉnh "lõm". Chúng xác định chính xác những dòng nào sẽ giao nhau với đa giác nhiều hơn hai lần. Trong hình dưới đây tôi đã đánh dấu các khoảng (màu đỏ) của các góc bị cấm. Nếu bạn đặt chúng lại với nhau và nhìn thấy một cái lỗ trên đĩa màu đỏ, sau đó có được phép góc $δ$ (màu xanh lam). Đa giác sau đó đơn điệu đối với bất kỳ đường dốc nào $-1/\tan δ$ (màu xanh lá cây).

Tiểu hành tinh

Bây giờ là thuật toán.

Đặt là đỉnh thứ của đa giác. Đầu tiên tính toán góc tuyệt đối của cạnh và góc bên $v_i=(x_i, y_i)$ $i$ $α_i$ $(v_iv_{i+1})$ của đỉnh . Sử dụngchức năngcó sẵn trong tất cả các ngôn ngữ lập trình tốt. $β_i$ $v_i$ atan2

α_{i} = atan2 (y_{i + 1} - y_{i}, x_{i + 1} - x_{i})

$α_i=\mbox{atan2}(y_{i+1}-y_i,x_{i+1}-x_i)$

β_{i} = α_{i + 1} - α_{i} + {\begin{cases} 0 & if α_{i + 1} \geq α_{i} \\ 2 π & if α_{i + 1} < α_{i} \end{cases}

$β_i = α_{i+1}-α_i+ \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{ if } α_{i+1} ≥ α_i \\ 2π & \mbox{ if } α_{i+1} < α_i \\ \end{array} \right.$

Đảo ngược thứ tự của các đỉnh nếu chúng không theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ, tức là nếu không âm. ( : ngược chiều kim đồng hồ, : chiều kim đồng hồ). $s=\sum_i β_i-nπ$ $s=-2π$ $s=2π$

Điều sau đây chỉ dành cho các góc bên trong lớn hơn nghĩa là, . Những cái màu đỏ trong pic của tôi. Mục đích là để tìm một góc đó không phải là trong modulo . Cụ thể là sao cho tất cả sao cho : $m$ $π$ $β_j>π$ $δ$ $∪_j[α_{j+1},α_j]$ $π$ $j$ $β_j>π$

(δ < α_{j + 1} \lor α_{j} < δ) if α_{j + 1} < α_{j}

$(δ<α_{j+1} ∨ α_j<δ) \mbox{ if } α_{j+1}<α_j$

(α_{j} < δ < α_{j + 1}) if α_{j} < α_{j + 1}

$(α_j<δ<α_{j+1}) \mbox{ if } α_j<α_{j+1}$

Trong đó ở đây là giá trị chuẩn hóa của trong $α_j$ $α_j$ . Trường hợp tương ứng với thứ hai để một khoảng thời gian mà đi xa hơn (vì vậy thời gian này phải "bên trong"). $[0,π)$ $π$ $δ$

Có thể là một cách nhanh hơn để làm điều này nhưng một trong là để sắp xếp các giá trị vào và để thử nghiệm cho $O(n^2)$ $α_j\mbox{ mod }π$ $γ_1,…γ_m$ . $δ∈\{\frac{γ_1}2,\frac{γ_1+γ_2}2,…,\frac{γ_{m-1}+γ_m}2,\frac{γ_m+π}2\}$

Nếu bạn có tìm thấy một số sau đó tồn tại và là dốc . Nếu không thì không đơn điệu. $δ$ $L$ $-1/\tan δ$ $P$

— jmad
nguồn

Phần mềm nào bạn đã sử dụng để thực hiện minh họa đó?

— jojman

@jojman Tôi không nhớ nhưng đó phải là GIMP, tôi không thể nhớ bất kỳ chương trình nào khác mà tôi đã sử dụng trước đó.

— jmad