Các cây bao trùm tối thiểu của đồ thị có trọng số có cùng số cạnh với trọng số cho trước không?

Nếu đồ thị có trọng số có hai cây bao trùm tối thiểu khác nhau và , thì có đúng với mọi cạnh trong , số cạnh trong có cùng trọng số như (bao gồm cả bản thân ) có giống với số cạnh trong có cùng trọng số với không? Nếu tuyên bố là đúng, thì làm thế nào chúng ta có thể chứng minh nó?T 1 = ( V 1 , E 1 ) T 2 = ( V 2 , E 2 ) e E 1 E 1 e e E 2$G$$T_1 = (V_1, E_1)$$T_2 = (V_2, E_2)$$e$$E_1$$E_1$$e$$e$$E_2$$e$

Yêu cầu: Có, tuyên bố đó là đúng.

Bằng chứng phác thảo: Đặt là hai cây bao trùm tối thiểu với nhiều khối lượng cạnh . Giả sử và biểu thị sự khác biệt đối xứng của chúng với .$T_1,T_2$$W_1,W_2$$W_1 \neq W_2$ W = W 1 Δ W 2$W = W_1 \mathop{\Delta} W_2$

Chọn cạnh với , đó là là cạnh chỉ xảy ra ở một trong những cây và có trọng lượng không đồng ý tối thiểu. Một cạnh như vậy, đó là đặc biệt , luôn luôn tồn tại: rõ ràng, không phải tất cả các cạnh của cân \ phút W có thể ở cả cây, nếu không \ phút W \ notin W . Wlog hãy để e \ trong T_1 và giả sử T_1 có nhiều cạnh trọng lượng hơn \ min W so với T_2 .$e \in T_1 \mathop{\Delta} T_2$$w(e) = \min W$$e$$e \in T_1 \mathop{\Delta} T_2$$\min W$$\min W \notin W$$e \in T_1$$T_1$$\min W$$T_2$

Bây giờ hãy xem xét tất cả các cạnh trong cũng nằm trong phần cắt được tạo bởi trong . Nếu có cạnh trong đó có cùng trọng số với , hãy cập nhật bằng cách sử dụng thay vì ; lưu ý rằng cây mới vẫn là một cây bao trùm tối thiểu với nhiều khối lượng cạnh tương tự như . Chúng tôi lặp lại lập luận này, thu nhỏ bằng hai yếu tố và do đó loại bỏ một cạnh khỏi nhóm ứng cử viên cho trong mỗi bước. Do đó, chúng tôi nhận được sau nhiều bước chính xác đến một cài đặt trong đó tất cả các cạnh trong$T_2$$C_{T_1}(e)$$e$$T_1$$e'$$e$$T_1$$e'$$e$$T_1$$W$$e$$T_2 \cap C_{T_1}(e)$(trong đó là phiên bản cập nhật) có trọng lượng khác với .$T_1$$w(e)$

Bây giờ chúng ta luôn có thể chọn để chúng ta có thể trao đổi và , đó là chúng ta có thể tạo một cây bao trùm mới$e' \in C_{T_1}(e) \cap T_2$$e$$e'$

$\qquad \displaystyle T_3 = \begin{cases} (T_1 \setminus \{e\}) \cup \{e'\}, &w(e') \lt w(e) \\[.5em] (T_2 \setminus \{e'\}) \cup \{e\}, &w(e') \gt w(e) \end{cases}$

có trọng lượng nhỏ hơn và ; điều này mâu thuẫn với sự lựa chọn là những cây bao trùm tối thiểu. Do đó, .$T_1$$T_2$$T_1,T_2$$W_1 = W_2$

1. Các sự cố nút của nằm trong được kết nối bởi một đường dẫn ; là cạnh duy nhất trong .$e$$T_2$$P$$e'$$P \cap C_{T_1}(e)$

Đây là một đối số đơn giản hơn một chút cũng hoạt động cho các matroid khác. (Tôi thấy câu hỏi này từ một người khác .)

Giả sử có cạnh. Không mất tính tổng quát, giả sử rằng hàm trọng số đảm nhận các giá trị trong , vì vậy chúng tôi có một phân vùng thành các bộ cho . Chúng ta có thể thực hiện cảm ứng trên số của không trống và số đỉnh trong ; với và bất kỳ , tuyên bố là rõ ràng.m w [ m ] E E i : = w - 1 ( i ) i ∈ [ m ] j E i n G j = 1 $G$$m$$w$$[m]$$E$$E_i := w^{-1}(i)$$i\in [m]$$j$$E_i$$n$$G$$j=1$$n$

Một thực tế tiêu chuẩn về matroids là đối với mỗi MST có một phần mở rộng tuyến tính của trật tự gây ra bởi sao cho thuật toán tham lam sản xuất .w $T$$w$$T$

Để đóng cảm ứng, lấy là số lớn nhất để không trống. Đặt . Quan sát rằng mọi phần mở rộng tuyến tính của đặt mọi cạnh trong trước bất kỳ cạnh nào trong . Theo thực tế, bất kỳ MST nào cũng bao gồm một rừng bao quanh của sơ đồ con được tạo bởi và một số cạnh từ . Theo giả thuyết quy nạp, mỗi thành phần được kết nối của có cùng số cạnh từ mỗi cho . Vì tất cả các lựa chọn củaE t E ' = E 1 ∪ ⋯ ∪ E t - 1 w E ' E t F E ' E t F E i i < t F E t F $t$$E_t$$E' = E_1 \cup \cdots \cup E_{t-1}$$w$$E'$$E_t$$F$$E'$$E_t$$F$$E_i$$i < t$$F$có cùng kích thước, số cạnh từ cần thiết để hoàn thành đến cây bao trùm không phụ thuộc vào lựa chọn của và chúng ta đã hoàn thành.$E_t$$F$$F$