Số lượng các vấn đề SAT (thỏa mãn boolean) có kích thước N?

Tôi giả sử kích thước của một thể hiện của bài toán SAT được đo bằng số biến (Boolean) của nó. Tổng số trường hợp các vấn đề SAT có kích thước N là bao nhiêu?

Tôi đoán rằng số tiền để đếm số lượng công thức "riêng biệt" có thể được hình thành bởi N biến boolean, sử dụng một hình thức bình thường như CNF hoặc DNF.

Cập nhật: câu hỏi này được trả lời một phần cho trường hợp 3SAT: https://cstheory.stackexchange.com/q/2168/15553

và số mệnh đề riêng biệt là:

Nếu bạn xem xét Dạng thông thường 3 liên hợp (3CNF) (mọi mệnh đề có chính xác ba chữ) và bạn cho phép các mệnh đề có các biến lặp lại, thì có thể dễ dàng thấy rằng sử dụng $N$ biến số lượng các mệnh đề 3SAT khác nhau là $(2N)^3$ ($2N$ bởi vì mọi nghĩa đen có thể xuất hiện không bị loại bỏ hoặc phủ định).

Vì vậy, tổng số công thức 3CNF riêng biệt (không có mệnh đề lặp lại) là $2^{(2N)^3}$.

Nhưng hãy cẩn thận vì "kích thước" của công thức 3CNF (ví dụ được coi là đầu vào của một vấn đề quyết định) thường là kích thước của biểu diễn. Ví dụ: sử dụng bảng chữ cái công thức 3CNF có thể được biểu diễn bằng chuỗi:$\Sigma = \{0,...,9,``,",-\}$$(x_1\lor\bar{x}_2\lor x_3)\land (\lor x_2 \lor \bar{x}_3 \lor \bar{x}_4)$

1,-2,3,2,-3,-4

và chiều dài của nó là 14.

Một mệnh đề bao gồm các chữ trên n biến. Chúng ta hãy giả sử rằng một thể hiện là một tập hợp các mệnh đề riêng biệt . Rõ ràng chúng ta có thể tính toán số lượng các trường hợp như là quyền hạn của các mệnh đề, nhưng điều đó đòi hỏi chúng ta trước tiên phải làm rõ những gì chúng ta coi là một mệnh đề hợp lệ.

Nói chung, mỗi biến sẽ được đại diện bởi một hoặc cả hai nghĩa đen của nó, hoặc nếu không nó sẽ không được trình bày . Nếu biến được biểu diễn, nó có thể được biểu diễn thông qua chỉ có nghĩa đen, chỉ có nghĩa đen hoặc cả hai. Vì có 4 trường hợp có thể cho mỗi biến và n biến, nên phải có mệnh đề có thể. Loại trừ mệnh đề null chúng ta có tổng số mệnh đề và, ngoại trừ trường hợp null, có thể xảy ra.$4^n$$4^n -1$$2^{4^n - 1}-1$

Tất nhiên, các mệnh đề chứa cả nghĩa đen của bất kỳ biến nào đều không đặc biệt hữu ích; mỗi người đều hài lòng bởi mỗi nhiệm vụ Vì các mệnh đề này không thực sự thêm bất kỳ ràng buộc nào, chúng ta hãy hạn chế sự chú ý của chúng ta vào các mệnh đề ràng buộc .

Khi làm như vậy, chúng tôi loại bỏ khả năng bất kỳ biến nào lấy cả hai nghĩa đen của nó, vì vậy chúng tôi còn lại ba trường hợp có thể có cho mỗi biến hoặc mệnh đề có thể. Không bao gồm mệnh đề null và bộ sưu tập null một lần nữa, chúng ta có trường hợp có thể.$3^n$$2^{3^n - 1}-1$

Đối với k-SAT, mỗi mệnh đề có chính xác k chữ. Rõ ràng, có select k cách để chọn k biến. Vì chúng ta cần chính xác k chữ trên mỗi mệnh đề, tuy nhiên, chúng ta chỉ có thể biểu diễn mỗi biến bằng chữ duy nhất hoặc âm. Do đó, phải có k-mệnh đề và trường hợp của k-sat.$n\choose k$$2^k{n \choose k}$$2^{2^k{n \choose k}}-1$

Cuối cùng, lưu ý rằng chúng ta cũng có thể xác định có bao nhiêu trường hợp chứa chính xác các mệnh đề c.

• Đối với tất cả các mệnh đề có thể, ngoại trừ mệnh đề null:${4^n-1}\choose c$
• Đối với các mệnh đề ràng buộc:${3^n-1} \choose c$
• Đối với mệnh đề k:${{2^k}{n\choose k}\choose c}$