Giảm độ phủ đỉnh tối thiểu trong biểu đồ lưỡng cực xuống lưu lượng tối đa

Có thể chỉ ra rằng nắp đỉnh tối thiểu trong biểu đồ lưỡng cực có thể được giảm đến một vấn đề dòng chảy tối đa? Hoặc đến bài toán cắt tối thiểu (sau đó tuân theo định lý cắt tối thiểu dòng chảy tối đa, yêu cầu giữ).

Theo trực giác: đối với mỗi luồng, chọn một điểm cuối, sau đó là một đỉnh đỉnh tối thiểu trong biểu đồ lưỡng cực. Nhưng nó có thể được hiển thị nghiêm ngặt?

Theo định lý của König , kích thước của đỉnh đỉnh tối thiểu trong biểu đồ lưỡng cực bằng với kích thước khớp tối đa trong và có sự giảm rõ ràng từ khớp tối đa trong đồ thị lưỡng cực sang vấn đề dòng chảy tối đa.$G$$G$

Gọi hai phân vùng của các nút và . Thêm hai nút mới, một nguồn và chìm . Kết nối nút bắt đầu với tất cả các nút trong với cạnh có dung lượng tối đa là một. Kết nối tất cả các nút trong với bồn rửa với các cạnh có dung lượng tối đa là một. Và cuối cùng cung cấp cho tất cả các cạnh ban đầu trong biểu đồ một công suất tối đa là một. Bây giờ tìm luồng tối đa từ đến sẽ tìm nắp đỉnh tối thiểu.$A$$B$$s$$t$$A$$B$$s$$t$

Đối với mỗi cạnh bao gồm trong luồng cực đại, nút hoặc sẽ là một phần của nắp đỉnh tối thiểu.$(u,v)$$u$$v$

Vẽ cái này và bạn sẽ hiểu.