Biểu diễn hữu hạn và ngôn ngữ lập trình Vô dụng

Tôi đang xem qua một số phép toán cần thiết liên quan đến lý thuyết Automata và các biểu diễn hữu hạn.

Tôi đọc như sau:

Nếu ∑ là một bảng chữ cái hữu hạn, tập hợp tất cả các chuỗi trên bảng chữ cái (∑ *) là vô hạn .
Tập hợp tất cả các ngôn ngữ có thể có trong bảng chữ cái là vô hạn .

Làm thế nào tập hợp các ngôn ngữ có thể từ là vô hạn vô hạn , nhưng ứng dụng có thể có của bảng chữ cái đó cho một ngôn ngữ là vô hạn ?

Tôi có thể yêu cầu những người trả lời không sử dụng quá nhiều ký hiệu phức tạp, vì tôi không phải là một wizz toán học.

discrete-mathematics

— Andrew S
nguồn

Bạn có hiểu sự khác biệt giữa vô hạn đếm được và vô hạn vô hạn, hoặc chỉ có một loại vô hạn trong tâm trí của bạn? Bạn có một ý tưởng mơ hồ về sự khác biệt này xuất hiện như thế nào (xem Cantor)?

Cảm ơn. Tôi loại ý tưởng về vô hạn vô hạn. Về cơ bản, nó là một tập hợp không thể được lập chỉ mục, giống như một tập hợp các số thực, bởi vì nói số bước tăng có thể có giữa say 1.0 và 2.0 là vô hạn.

— Andrew S

"Vô hạn vô hạn" không phải là một thuật ngữ kỹ thuật AFAIK (nếu có, bỏ qua những điều sau đây). Nếu điều đó có nghĩa là bạn có số bước vô hạn (có thể hoặc không) trong khoảng từ 1 đến 2, thì bạn đã rơi vào cái bẫy đánh giá thấp vô hạn. Khoảng số thực [1; 2] thực sự không thể đếm được, nhưng các tỷ lệ hợp lý trong cùng một khoảng là có thể đếm được, mặc dù có một số lượng vô hạn (có thể) của chúng và không có các bước rời rạc!

Câu trả lời:

Dưới đây là một tình huống đơn giản hơn làm nổi bật sự khác biệt. Tập hợp các chuỗi nhị phân hữu hạn là có thể đếm được. Tập hợp các chuỗi nhị phân vô hạn là không thể đếm được.

Một ví dụ khác: tập hợp các số có khai triển thập phân hữu hạn là có thể đếm được. Tập hợp các số có mở rộng thập phân vô hạn là không thể đếm được.

Lý do mà số lượng ngôn ngữ là không thể đếm được là vì bạn có vô số lựa chọn: đối với mỗi từ, bạn có thể quyết định liệu nó có trong ngôn ngữ hay không. Đó là lý do tại sao nó giống như chuỗi nhị phân vô hạn được xem xét ở trên.

— Yuval Filmus
nguồn

Hai đối số đầu tiên không thuyết phục, một tập hợp các chuỗi nhị phân vô hạn có thể đếm được vô hạn, 0, 1, 10, 11, ..... vô hạn (chính xác là tôi nếu tôi sai, có lẽ tôi là vậy). Tuy nhiên, tôi thích ví dụ cuối cùng của bạn.

— Andrew S

Tập hợp tất cả các chuỗi hữu hạn là có thể đếm được - đó là 0, 1, 10, 11, ... Tập hợp của tất cả các chuỗi vô hạn là không thể đếm được. Bạn thậm chí không thể viết bất kỳ trong số họ, vì tất cả chúng là vô hạn. Ví dụ có thể là

0^{ω}

$0^\omega$ (vô số số không),

(01)^{ω}

$(01)^{\omega}$ (một mẫu lặp lại),

1010^{2} 10^{3} 10^{4} 10^{5} \dots

$1010^210^310^410^5\dots$ (một mô hình không lặp lại), và nhiều, nhiều hơn nữa. Vô số hơn. Nhiều hơn bạn có thể mô tả.

— Yuval Filmus

@AndrewS, bạn đang xem xét các chuỗi nhị phân hữu hạn . Kiểm tra đối số đường chéo của Cantor để thấy sự khác biệt quan trọng.

— vonbrand

Cảm ơn rất nhiều người bây giờ tôi sẽ ngủ tối nay (một chút thôi).

— Andrew S

Tôi không nghĩ câu trả lời này cung cấp một trực giác có giá trị. 1) Có là tập hợp đếm được không tầm thường của chuỗi vô hạn, ví dụ như đại diện bởi máy Turing hay Buchi automata. 2) Các số hữu tỷ chứa các số mở rộng thập phân vô hạn, nhưng tập hợp có thể đếm được. 3) Thuộc tính "có vô số lựa chọn" quá mơ hồ không hữu ích.

— Raphael

Các câu hỏi thuộc dạng "làm thế nào có thể" luôn khó trả lời khi họ yêu cầu trực giác. Trực giác ở đây là: không thể đếm được có nghĩa là "quá nhiều" theo cách. Tại sao có nhiều "đối tượng" của một loại hơn các loại khác? Vâng, họ chỉ là.

Hãy chắc chắn rằng bạn hiểu sự thật.

Cho một bộ hữu hạn $\Sigma$ , xây dựng các mệnh đề để $\mathbb{N}$ cho tập hợp tất cả các chuỗi (hữu hạn) trên $\Sigma^*$ .

Dấu: $\Sigma^n$ là hữu hạn, do đó, kết hợp một số tổng quát của $\Sigma^n$ với $n$ nên làm việc.\
Cho thấy rằng tập hợp tất cả các bộ dữ liệu tự nhiên, nghĩa là $\mathbb{N}^+ = \bigcup_{i \geq 1} \mathbb{N}^i$ , là có thể đếm được.

Gợi ý: Xây dựng trang phục cho $\mathbb{N}^i$ đầu tiên (xem Cantor) và kết hợp những cái đó, một lần nữa bằng cách sử dụng $i$ .
Cho thấy bộ sức mạnh của $\mathbb{N}$ , I E $2^{\mathbb{N}}$ , là không thể đếm được.

Gợi ý: Sử dụng đường chéo.

Nếu bạn đã làm điều này, bạn có tất cả các công cụ để hiển thị ví dụ rằng

tất cả các khái niệm thuật toán (hoặc, nói chung hơn, được trình bày chính xác) đều có thể đếm được nhưng
tập hợp tất cả các chức năng trên tự nhiên hoặc thực tế hoặc ... là không thể đếm được.

— Raphael
nguồn