Là kết nối các đảo với pontoons NP-hoàn thành?

Tôi có một vấn đề trong tâm trí của tôi, tôi nghĩ đó là một vấn đề NPC nhưng tôi không biết làm thế nào để chứng minh nó.

Đây là vấn đề:

Có k đảo trong một hồ rất lớn, và có n pontoons hình quạt. Những con pontoons này có cùng kích thước nhưng có hướng ban đầu khác nhau và ở những vị trí ban đầu khác nhau trong hồ. Các pontoons có thể xoay tự do xung quanh tâm khối lượng của nó, và không có chi phí liên quan đến xoay.

Bây giờ chúng ta cần di chuyển những pontoons đó để tất cả các đảo trong hồ có thể được kết nối. Chúng tôi có thể đảm bảo số lượng pontoons đủ để kết nối tất cả các đảo.

[Lưu ý]: Chúng tôi không thể sử dụng lại pontoons !!

Nhiệm vụ là tìm ra giải pháp có tổng khoảng cách tối thiểu của các pontoons di chuyển để làm cho tất cả các đảo được kết nối. Khoảng cách di chuyển một phao có thể được tính bằng khoảng cách giữa vị trí ban đầu của khối lượng và vị trí được triển khai.

Để làm cho nó rõ ràng, tôi đã vẽ một con số như vậy. Giả sử chúng ta có 3 hòn đảo A, B và C. Chúng nằm ở đâu đó trong hồ. Và tôi có một vài cái quần lót hình quạt. Bây giờ giải pháp là tìm tổng cộng khoảng cách di chuyển tối thiểu để kết nối A, B và C, được hiển thị ở phần dưới cùng của hình. Hy vọng nó sẽ giúp hiểu vấn đề. :)

Có vẻ như vấn đề là một NPC, nhưng tôi không biết phải chứng minh điều đó. có ai có thể giúp tôi trong việc này không?

Thứ nhất: Đây không phải là vấn đề nhân viên bán hàng du lịch. TSP yêu cầu xác định chu trình Hamilton trọng lượng tối thiểu; chu trình này không yêu cầu một chu kỳ, hoặc thậm chí là một con đường trọng lượng tối thiểu nào cả. Nó đòi hỏi một chi phí xây dựng tối thiểu của một tập hợp các cạnh, trong đó chi phí xây dựng dựa trên việc di chuyển các pontoons xung quanh.

Thứ hai: Đây không phải là vấn đề cây kéo dài trọng lượng tối thiểu. Xem ở trên-- chúng tôi yêu cầu một chi phí xây dựng tối thiểu không xác định trọng lượng tối thiểu.

Thứ ba: Dường như con đường được xây dựng sẽ là một cây bao trùm, nhưng không nhất thiết là một trọng lượng tối thiểu. Thay thế là nó sẽ là một cây bao trùm cộng với một số cạnh bổ sung dẫn đến một chu kỳ; nhưng nếu chúng ta bắt đầu trong một cấu hình không có cạnh, thì mọi cạnh đều có một số chi phí dương và chúng ta luôn có thể tìm thấy một cây bao trùm có trọng lượng thấp hơn bằng cách đơn giản là không xây dựng các cạnh phụ.

Thứ tư: Bạn nói pontoons xoay tự do; Tôi cho rằng điều đó có nghĩa là không có chi phí liên quan đến việc xoay pontoons. Tuy nhiên, bạn không chỉ định pontoons xoay về cái gì: Điểm của chúng? Trung tâm đại chúng của họ? Bất kỳ điểm nội bộ? (Nếu có bất kỳ điểm bên ngoài nào, thì chúng ta sẽ có cấu trúc không trọng lượng, vâng?)

Đây là một chút tinh tế, bởi vì nếu chúng ta xoay 90 độ về một điểm nội bộ, giả sử, trung tâm của khối lượng, chi phí là gì? Không có gì, vì đó là một vòng quay? Một số lượng hữu hạn vì điểm di chuyển? Bây giờ chúng ta cũng cần biết kích thước của pontoons.

Thứ năm: Người ta giả định cả pontoons và các đảo đều được nhúng vào mặt phẳng Euclide?

Sau khi nhìn vào các sơ đồ mới, tôi thấy rằng bạn có thể cần nhiều pontoons để vượt qua giữa các đảo. Do đó, bạn có thể tiến gần đến một giải pháp cho vấn đề Steiner Tree bằng cách biến các nút thành đảo và tạo ra một bộ sưu tập pontoons đủ đa dạng với các cung nhỏ. Wikipedia nói rằng trên thực tế có một PTAS cho vấn đề cây Steiner, vì vậy tôi không thể nói ngay rằng điều này làm cho nó hoàn thành NP. Tuy nhiên, nhìn vào các chi tiết của cây Steiner có thể giúp bạn có được một giải pháp gần đúng hoặc cho thấy vấn đề là NP-Complete.

Sau bản vẽ, Đây vẫn là một vấn đề NPC. Ngay cả khi chúng tôi cắt vấn đề xuống từng pontoon có thể đảm nhận 1 trong số n vị trí (nghĩa là các đường kết nối đã biết. Để có câu trả lời tối ưu nhất, chúng tôi sẽ phải thử từng pontoon ở mỗi vị trí, thêm khoảng cách của chúng để đến các vị trí lặp lại đó thời gian và so sánh với tất cả những người khác. Nếu mỗi pontoon phải được kiểm tra ở mỗi vị trí, thì có n! sự kết hợp cần phải được kiểm tra.

Ive đã chọn chỉnh sửa hình ảnh của người đăng ban đầu với một số bổ sung để hiển thị các ý tưởng biểu đồ đằng sau vấn đề này.

Hình ảnh dưới đây cho thấy tất cả (trừ 2 để đơn giản hơn) pontoons với các màu khác nhau, với tất cả các vị trí cuối phao tiềm năng ở ĐỎ. Tôi chỉ vẽ các đường giữa 3 pontoons và tất cả các vị trí cuối, nhưng người ta có thể thấy CRAZY này có thể nhận được như thế nào.

Nói rằng chỉ vì cái quái quỷ đó, chúng tôi chọn cho pontoon màu ngọc lam được đặt ở vị trí cuối gần nó nhất là bước đầu tiên (mặc dù TỪ TSP chúng tôi biết rằng cuối cùng có thể không tối ưu).

Dưới đây chúng ta thấy chính xác rằng, phao và khoảng cách (còn gọi là khoảng cách di chuyển có trọng số) nó sẽ phải di chuyển.

Từ đây, một nút ảo với hai vị trí cuối bên cạnh vị trí vừa đặt có thể được tạo. Khoảng cách từ nút đặt và hai nút liền kề trong nút ảo có khoảng cách di chuyển ảo là 0.

Dưới đây chúng ta thấy nút ảo được tạo với TẤT CẢ trọng lượng khoảng cách di chuyển có thể được đặt ở đó.

Xem cách điều này sẽ tiếp tục và cách giải pháp tối ưu nhất (như đã thấy nhiều lần với TSP) sẽ không phải luôn luôn bằng cách chọn khoảng cách ngắn nhất cho mọi lựa chọn, chúng tôi sẽ phải kiểm tra tất cả các đường dẫn cho tất cả các nút / nút ảo.

Cuối cùng, nút đầu tiên của vấn đề (TSP) có thể là bất kỳ một trong những điểm pontoon cuối tiềm năng và các đường được rút ra từ đó là khoảng cách từ điểm cuối đó đến tất cả các pontoons khác. tất cả các nút khác sau đó trở thành các nút ảo như tôi đã mô tả với các dòng của chúng xuất hiện dưới dạng khoảng cách / trọng lượng cho tất cả các pontoons còn lại, v.v. Làm thế nào vấn đề đồ thị này KHÔNG CHÍNH XÁC vấn đề nhân viên bán hàng du lịch mà không có yêu cầu LUM JUMP từ chu kỳ hamiltonian vượt quá tôi. Để có câu trả lời chính xác, người ta phải kiểm tra tất cả các đường dẫn qua biểu đồ.